Calcules as integraio
\int_{0}^{1} \frac{x}{e^{2 x}} d x

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:\n
Temos a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{x}{e^{2x}}\,dx
As informações relevantes são:\n
  • Os limites de integração são 0 e 1.\n
  • A função integranda é \dfrac{x}{e^{2x}}, que podemos reescrever como x e^{-2x}.\n
    O objetivo é calcular o valor numérico exato dessa integral definida.

Passo 2

Escolha do método e a fórmula que vamos usar:\n
Uma maneira eficiente de calcular integrais do tipo x e^{ax} ou x e^{-ax} é usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes (indefinida) é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui u e dv são funções que escolhemos, du é a derivada de u multiplicada por dx, e v é uma primitiva de dv (ou seja, v' = dv/dx).\n
Para integrais definidas, a versão correspondente é
\int_{a}^{b} u\,dv = \Big[uv\Big]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v\,du,
onde \Big[uv\Big]_{a}^{b}=u(b)v(b)-u(a)v(a).

Passo 3

Escolha prática de u e dv e cálculo de du e v:\n
Tomamos
u = x,\qquad dv = e^{-2x}\,dx
Então
du = dx.
Agora precisamos de v, uma primitiva de e^{-2x}. Usamos a regra \displaystyle \int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax} (válida para a\neq0). Aqui a=-2, então
v = \int e^{-2x}\,dx = \frac{1}{-2}e^{-2x} = -\tfrac{1}{2}e^{-2x}.
Explicação rápida: derivando -\tfrac{1}{2}e^{-2x} obtemos -\tfrac{1}{2}\cdot(-2)e^{-2x}=e^{-2x}, então está correto.

Passo 4

Aplicando integração por partes à integral definida:\n
Seja I=\displaystyle\int_{0}^{1} x e^{-2x}\,dx. Pela fórmula,
I = \Big[ u v \Big]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} v\,du.
Substituindo u, v e du:
I = \Big[ x\cdot\big(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\big)\Big]_{0}^{1} - \int_{0}^{1}\big(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\big)\,dx.
Calcule o termo de fronteira:
\Big[ x\cdot\big(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\big)\Big]_{0}^{1} = -\tfrac{1}{2}\cdot 1\cdot e^{-2} - \big(-\tfrac{1}{2}\cdot 0\cdot e^{0}\big) = -\tfrac{1}{2}e^{-2}.
Então
I = -\tfrac{1}{2}e^{-2} - \big(-\tfrac{1}{2}\big)\int_{0}^{1} e^{-2x}\,dx = -\tfrac{1}{2}e^{-2} + \tfrac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{-2x}\,dx.

Passo 5

Calcule a integral restante e simplifique:\n
Calcule \displaystyle\int_{0}^{1} e^{-2x}\,dx. Usando a primitiva já obtida,
\int_{0}^{1} e^{-2x}\,dx = \Big[ -\tfrac{1}{2}e^{-2x}\Big]_{0}^{1} = -\tfrac{1}{2}e^{-2} - \big(-\tfrac{1}{2}e^{0}\big) = -\tfrac{1}{2}e^{-2} + \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}\big(1 - e^{-2}\big).
Substituindo em I:
I = -\tfrac{1}{2}e^{-2} + \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{2}\big(1 - e^{-2}\big) = -\tfrac{1}{2}e^{-2} + \tfrac{1}{4}\big(1 - e^{-2}\big).
Agora simplificamos passo a passo:
I = \tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{4}e^{-2} - \tfrac{1}{2}e^{-2} = \tfrac{1}{4} - \big(\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{2}\big)e^{-2} = \tfrac{1}{4} - \tfrac{3}{4}e^{-2}.
Se quiser uma noção numérica rápida: e^{-2}\approx 0{,}135335, então I\approx 0{,}25 - 0{,}1015 \approx 0{,}1485.\n
Você conseguiu! Foi integração por partes mais uma integral exponencial simples.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}-\frac{3}{4}e^{-2}

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