Calcule as integrais impróprias
\int_{-\infty}^{1} e^{1-x} d x

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral imprópria
\int_{-\infty}^{1} e^{1-x}\, dx.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  1. O integrando é e^{1-x}.
  2. Os limites de integração vão de -\infty até 1.
  3. Como o limite inferior é -\infty, trata-se de uma integral imprópria; isso exige interpretar a integral como um limite.

Passo 2

O que significa calcular uma integral com um limite infinito?
Quando temos uma integral com limite infinito, por exemplo \int_{-\infty}^{1} f(x)\,dx, substituímos o limite infinito por um parâmetro (digamos a) e definimos a integral como o limite
\int_{-\infty}^{1} f(x)\,dx = \lim_{a\to -\infty} \int_{a}^{1} f(x)\,dx,
se esse limite existir (for finito). Se o limite for infinito ou não existir, dizemos que a integral diverge. Aqui vamos aplicar exatamente isso com f(x)=e^{1-x}.

Passo 3

Calcular a primitiva (antiderivada) de e^{1-x}. Vou fazer isso de maneira bem clara e já mostrando duas maneiras equivalentes, escolhe a que achar mais intuitiva.
Método direto (fatorando):
e^{1-x} = e^{1}\cdot e^{-x} = e\;e^{-x}.
Sabemos que a primitiva de e^{-x} é -e^{-x} porque \frac{d}{dx}(-e^{-x}) = -(-e^{-x}) = e^{-x}. Assim uma primitiva de e^{1-x} é
F(x) = e\cdot(-e^{-x}) = -e^{1-x}.
Método por substituição (opcional, para ver outra visão):
Faça u=1-x, então du=-dx e \int e^{1-x}dx = \int e^{u}(-du) = -\int e^{u}du = -e^{u}+C = -e^{1-x}+C.
Os dois caminhos dão a mesma primitiva F(x)=-e^{1-x}.

Passo 4

Agora calculo a integral definida de a até 1 usando a primitiva e, em seguida, tomo o limite a\to -\infty:
\int_{a}^{1} e^{1-x}\,dx = \bigl[-e^{1-x}\bigr]_{x=a}^{x=1} = -e^{1-1} - \bigl(-e^{1-a}\bigr).
Calcule cada termo:
-e^{1-1} = -e^{0} = -1,
-e^{1-a}\\ \text{com o sinal negativo externo já considerado dá}\\\ +e^{1-a}.áá
Portanto
\int_{a}^{1} e^{1-x}\,dx = -1 + e^{1-a}.

Passo 5

Tomo o limite quando a\to -\infty:
\lim_{a\to -\infty} \bigl(-1 + e^{1-a}\bigr) = -1 + \lim_{a\to -\infty} e^{1-a}.
Observe que quando a\to -\infty temos 1-a \to +\infty, logo e^{1-a}\to +\infty. Assim
-1 + e^{1-a} \to -1 + (+\infty) = +\infty.
Isso significa que o limite não é um número finito: a integral impropria cresce sem limite.

Passo 6

Interpretação intuitiva (para lembrar na prova): conforme x vai para -\infty, o integrando e^{1-x} cresce exponencialmente (pois o expoente 1-x vai para +\infty). Logo a “área” acumulada à esquerda diverge — faz sentido que a integral seja infinita.

Resposta

Diverge para +\infty

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