Calcule as integrais impróprias
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral imprópria
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O integrando é
. - Os limites de integração vão de
até . - Como o limite inferior é
, trata-se de uma integral imprópria; isso exige interpretar a integral como um limite.
Passo 2
O que significa calcular uma integral com um limite infinito?
Quando temos uma integral com limite infinito, por exemplo , substituímos o limite infinito por um parâmetro (digamos
) e definimos a integral como o limite
Quando temos uma integral com limite infinito, por exemplo
se esse limite existir (for finito). Se o limite for infinito ou não existir, dizemos que a integral diverge. Aqui vamos aplicar exatamente isso com
.
Passo 3
Calcular a primitiva (antiderivada) de
. Vou fazer isso de maneira bem clara e já mostrando duas maneiras equivalentes, escolhe a que achar mais intuitiva.
Método direto (fatorando):
Sabemos que a primitiva de
é
porque
. Assim uma primitiva de
é
Método por substituição (opcional, para ver outra visão):
Faça , então
e
.
Os dois caminhos dão a mesma primitiva .
Faça
Os dois caminhos dão a mesma primitiva
Passo 4
Agora calculo a integral definida de
até
usando a primitiva e, em seguida, tomo o limite
:
Calcule cada termo:
Portanto
Passo 5
Tomo o limite quando
:
Observe que quando
temos
, logo
. Assim
Isso significa que o limite não é um número finito: a integral impropria cresce sem limite.
Passo 6
Interpretação intuitiva (para lembrar na prova): conforme
vai para
, o integrando
cresce exponencialmente (pois o expoente
vai para
). Logo a “área” acumulada à esquerda diverge — faz sentido que a integral seja infinita.
Resposta
Diverge para