Calcules as integraio
\int x^{5} e^{1-x^{6}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{5} e^{1-x^{6}}\,dx.
Informações dadas que são relevantes:
  • A integranda é o produto de x^{5} e e^{1-x^{6}}.
  • Espera-se uma primitiva (integral indefinida), ou seja, a resposta deve conter uma constante de integração C.

Passo 2

Observação estratégica (por que olhar o expoente?): quando vemos uma função exponencial com composição, como e^{1-x^{6}}, é útil checar a derivada do que está dentro do expoente. Calculemos a derivada de \,1-x^{6}\,:
\frac{d}{dx}\big(1-x^{6}\big) = -6x^{5}.
Perceba que essa derivada é proporcional a x^{5} (especificamente, é -6x^{5}). Isso indica que uma mudança de variável (substituição) do tipo \,u=1-x^{6}\, vai simplificar muito a integral, porque transforma x^{5}\,dx em algo proporcional a du.

Passo 3

Apresentando a substituição explicitamente:
Defina
u = 1 - x^{6}.
Então diferencie ambos os lados:
du = -6x^{5}\,dx.
Isolando x^{5}\,dx obtemos
x^{5}\,dx = -\frac{1}{6}\,du.
Agora substituímos na integral original. A integral
\int x^{5} e^{1-x^{6}}\,dx
fica, em termos de u,
\int e^{u}\left(-\frac{1}{6}\,du\right).

Passo 4

Fatorando a constante para fora da integral:
\int e^{u}\left(-\frac{1}{6}\,du\right) = -\frac{1}{6}\int e^{u}\,du.
Lembrete rápido sobre integrais de exponencial: a primitiva de e^{u} em relação a u é e^{u}, porque \frac{d}{du}e^{u}=e^{u}. Assim,
-\frac{1}{6}\int e^{u}\,du = -\frac{1}{6} e^{u} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original x substituindo u=1-x^{6}:
-\frac{1}{6} e^{u} + C = -\frac{1}{6} e^{1 - x^{6}} + C.
Pronto — temos uma primitiva em função de x.

Passo 6

Verificação rápida (diferenciar para checar): calculemos a derivada de -\dfrac{1}{6} e^{1-x^{6}} + C.
Usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{6} e^{1-x^{6}}\right) = -\frac{1}{6} e^{1-x^{6}}\cdot\frac{d}{dx}(1-x^{6}) = -\frac{1}{6} e^{1-x^{6}}\cdot(-6x^{5}) = x^{5} e^{1-x^{6}}.
Isso coincide com a integranda original, então a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{1}{6}e^{1-x^{6}} + C

Exercícios relacionados