Calcules as integraio
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas que são relevantes:
- A integranda é o produto de
e . - Espera-se uma primitiva (integral indefinida), ou seja, a resposta deve conter uma constante de integração
.
Passo 2
Observação estratégica (por que olhar o expoente?): quando vemos uma função exponencial com composição, como
, é útil checar a derivada do que está dentro do expoente. Calculemos a derivada de
:
Perceba que essa derivada é proporcional a
(especificamente, é
). Isso indica que uma mudança de variável (substituição) do tipo
vai simplificar muito a integral, porque transforma
em algo proporcional a
.
Passo 3
Apresentando a substituição explicitamente:
Defina
Defina
Então diferencie ambos os lados:
Isolando
obtemos
Agora substituímos na integral original. A integral
fica, em termos de
,
Passo 4
Fatorando a constante para fora da integral:
Lembrete rápido sobre integrais de exponencial: a primitiva de
em relação a
é
, porque
. Assim,
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltando à variável original
substituindo
:
Pronto — temos uma primitiva em função de
.
Passo 6
Verificação rápida (diferenciar para checar): calculemos a derivada de
.
Usando a regra da cadeia:
Usando a regra da cadeia:
Isso coincide com a integranda original, então a primitiva está correta.