Um corpo de prova de alumínio com diâmetro inicial de 10 mm submetido ao ensaio de tração suportou uma força máxima de 3,1 toneladas. Determine o limite de resistência deste material. Este mesmo material se tivesse o dobro do diâmetro qual seria a força máxima que suportaria?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz as seguintes perguntas.
  • Dados fornecidos:
    • Diâmetro inicial do corpo de prova: d=10\\ \mathrm{mm}.
    • Força máxima suportada (para esse diâmetro): F=3,1\\ \text{toneladas}.
  • Perguntas:
    1. Determinar o limite de resistência (tensão de ruptura/tensão última) do material.
    2. Se o mesmo material tivesse o dobro do diâmetro, qual seria a força máxima que suportaria?

Passo 2

Conceito básico que vamos usar: tensão (ou limite de resistência) é a força aplicada dividida pela área da seção transversal. A fórmula é
\sigma=\frac{F}{A},
onde:
  • \sigma é a tensão (limite de resistência) em unidades de pressão (Pa, N/mm ^2, MPa, …),
  • F é a força aplicada (em N),
  • A é a área da seção transversal (em unidades compatíveis com F, por exemplo mm ^2 se F estiver em N e quisermos \sigma em N/mm ^2 que é igual a MPa).
Explicação curta e amigável: a ideia é dividir “quanto empurra” pela “área que está empurrando” — quanto menor a área, maior a tensão para a mesma força.

Passo 3

Calcular a área da seção transversal (círculo) do corpo de prova com d=10\\ \mathrm{mm}.
A área de um círculo é
A=\pi r^{2}=\pi\left(\frac{d}{2}\right)^{2}.
Substituindo d=10\\ \mathrm{mm}:
r=\frac{d}{2}=5\\ \mathrm{mm},
A=\pi\cdot 5^{2}=\pi\cdot 25=25\pi\\ \mathrm{mm}^{2}.
Valor numérico aproximado:
A\approx 25\cdot 3,14159265\approx 78,54\\ \mathrm{mm}^{2}.

Passo 4

Converter a força dada para unidades do SI (newton), para usar na fórmula. Primeiro converto toneladas em quilogramas e depois para newtons.
  • 1\\ \text{tonelada}=1000\\ \mathrm{kg}. Logo
3,1\\ \text{toneladas}=3100\\ \mathrm{kg}.
  • Força peso equivalente: F= m\cdot g, com g=9,80665\\ \mathrm{m/s^{2}}. Assim
F=3100\cdot 9,80665\\ \mathrm{N}=30\,400{,}615\\ \mathrm{N}.
Observação prática: podemos trabalhar também com kgf e mm ^2 (onde 1\\ \text{kgf/mm}^{2}=9{,}80665\\ \mathrm{MPa}), mas aqui usei N e mm ^2 porque 1\\ \mathrm{N/mm}^{2}=1\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Calcular a tensão usando \sigma=\dfrac{F}{A}. Como usamos F em N e A em mm ^2, o resultado ficará em N/mm ^2, que é numericamente igual a MPa.
Substituindo os valores:
\sigma=\frac{30\,400{,}615\\ \mathrm{N}}{78{,}53981634\\ \mathrm{mm}^{2}}\approx 387{,}3\\ \mathrm{N/mm^{2}}.
Como 1\\ \mathrm{N/mm^{2}}=1\\ \mathrm{MPa}, temos
\sigma\approx 387{,}3\\ \mathrm{MPa}.
Breve comentário motivador: isso significa que, para esse corpo de prova (diâmetro 10\\ \mathrm{mm}), o material atingiu uma tensão de aproximadamente 387{,}3\\ \mathrm{MPa} na ruptura — anota aí que esse é o “limite de resistência” pedido.

Passo 6

Agora a segunda pergunta: se o diâmetro dobra, d_{\text{novo}}=2d. A área de uma seção circular depende do quadrado do diâmetro:
A\propto d^{2}.
Se d dobra, a nova área é
A_{\text{novo}}=(2d)^{2}=4d^{2}=4A.
Mantendo o mesmo limite de resistência \sigma (mesmo material), a força máxima escalará com a área:
F_{\text{novo}}=\sigma\cdot A_{\text{novo}}=\sigma\cdot 4A=4(\sigma A)=4F.
Ou seja, a força máxima será quatro vezes a original.
Como a força original era 3{,}1\\ \text{toneladas}, a nova força é
F_{\text{novo}}=4\cdot 3{,}1\\ \text{toneladas}=12{,}4\\ \text{toneladas}.
Em newtons (para referência):
F_{\text{novo}}=4\cdot 30\,400{,}615\\ \mathrm{N}=121\,602{,}46\\ \mathrm{N}.

Resposta

387{,}3\\ \mathrm{MPa}
12{,}4\\ \text{toneladas} (equivalente a 121\,602{,}46\\ \mathrm{N})

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