Calcules os limites (aqui a utilização da regra de L’Hôspital é permitida)
Passo 1
O enunciado pede que se calcule o limite
Informações dadas:
- A variável tende para
pela direita, isto é . - A expressão a ser avaliada é a potência
. - Precisamos encontrar o valor numérico desse limite (se existir).
Passo 2
Observação sobre a forma indeterminada (aqui só identifico, sem resolver ainda).
Ao tentar substituir diretamente na base e no expoente temos:
Ao tentar substituir
Portanto a expressão tem a forma do tipo
, que é uma forma indeterminada. Quando aparece
costuma-se transformar o problema usando logaritmo para obter uma razão onde podemos aplicar técnicas como a regra de L’Hôpital.
Passo 3
Faço a transformação clássica com o logaritmo natural. Defina
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
Se existir o limite de
quando
, então o limite original é
desse valor, porque a função exponencial é contínua. Assim basta calcular
Passo 4
Verifico a forma da nova razão. Quando
temos
e o denominador
. Logo é uma forma
. Nessas condições podemos aplicar a regra de L’Hôpital: se o numerador e o denominador são diferenciáveis em um entorno (exceto possivelmente no ponto) e tendem ambos a
(ou ambos a
), então o limite da razão é o limite da razão das derivadas (quando este existir).
Passo 5
Calculo as derivadas necessárias para aplicar L’Hôpital.
Numerador:
.
- Use a regra da cadeia:
com . - Então
.
Logo
Denominador:
, então
.
Pela regra de L’Hôpital,
Passo 6
Agora avalio o limite da expressão obtida substituindo
(a função é contínua no entorno de
):
Portanto
Passo 7
Recupero o limite original usando a exponencial (função contínua):
Dica rápida para fixar: uma situação relacionada e famosa é
. Aqui a base aproxima-se de
também, mas a primeira ordem do log dá
ao invés de
, por isso aparece
.