Calcules os limites (aqui a utilização da regra de L’Hôspital é permitida)
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(x^{2}+7 x\right)^{x^{2}+2 x}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular
\lim_{x\to 0^{+}}\left(x^{2}+7x\right)^{x^{2}+2x}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A base é \,x^{2}+7x.)
  • O expoente é \,x^{2}+2x.)
    Ao observar os limites separados quando x\to0^{+}:
\lim_{x\to0^{+}}(x^{2}+7x)=0, \qquad \lim_{x\to0^{+}}(x^{2}+2x)=0.
Portanto a expressão tem a forma indeterminada 0^{0} quando x\to0^{+}.

Passo 2

Estratégia para resolver indeterminação 0^{0}: tomar logaritmo natural e passar para uma exponencial. Defina
y(x)=\left(x^{2}+7x\right)^{x^{2}+2x}.
Se existir
L=\lim_{x\to0^{+}}\ln y(x),
então, como a função exponencial é contínua, teremos
\lim_{x\to0^{+}}y(x)=\exp\left(L\right).
Assim vamos calcular primeiro L.

Passo 3

Calculemos a expressão do logaritmo:
\ln y(x)=(x^{2}+2x)\,\ln\!\bigl(x^{2}+7x\bigr).
Observe que x^{2}+7x=x(x+7), então
\ln\!\bigl(x^{2}+7x\bigr)=\ln x+\ln(x+7).
Logo
\ln y(x)=(x^{2}+2x)\ln x+(x^{2}+2x)\ln(x+7).

Passo 4

Avaliar o segundo termo facilmente: como \lim_{x\to0^{+}}\ln(x+7)=\ln 7 (número finito) e \lim_{x\to0^{+}}(x^{2}+2x)=0, segue que
\lim_{x\to0^{+}}(x^{2}+2x)\ln(x+7)=0.

Passo 5

Falta avaliar o primeiro termo (x^{2}+2x)\ln x. Separe em dois termos:
(x^{2}+2x)\ln x = x^{2}\ln x + 2x\ln x.
Mostremos que cada parcela tende a 0 quando x\to0^{+}.
Para \displaystyle \lim_{x\to0^{+}}x\ln x use L’Hôpital: escreva
x\ln x=\frac{\ln x}{1/x}.
Ao aplicar a regra de L’Hôpital (forma -\infty/\infty) obtém-se
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln x}{1/x} =\lim_{x\to0^{+}}\frac{(1/x)}{(-1/x^{2})} =\lim_{x\to0^{+}}(-x)=0.
Portanto \displaystyle \lim_{x\to0^{+}}x\ln x=0.
Para \displaystyle \lim_{x\to0^{+}}x^{2}\ln x proceda igual:
x^{2}\ln x=\frac{\ln x}{1/x^{2}},
e aplicando L’Hôpital:
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln x}{1/x^{2}} =\lim_{x\to0^{+}}\frac{(1/x)}{(-2/x^{3})} =\lim_{x\to0^{+}}\left(-\frac{x^{2}}{2}\right)=0.
Logo \displaystyle \lim_{x\to0^{+}}x^{2}\ln x=0.
Com isso \displaystyle \lim_{x\to0^{+}}(x^{2}+2x)\ln x=0.

Passo 6

Somando os limites dos dois termos do \ln y(x), obtemos
L=\lim_{x\to0^{+}}\ln y(x)=0+0=0.
Portanto
\lim_{x\to0^{+}}y(x)=\exp\left(L\right)=\exp(0)=1.

Resposta

1

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