Calcules os limites (aqui a utilização da regra de L’Hôspital é permitida)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcular
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A base é
.) - O expoente é
.)
Ao observar os limites separados quando:
Portanto a expressão tem a forma indeterminada
quando
.
Passo 2
Estratégia para resolver indeterminação
: tomar logaritmo natural e passar para uma exponencial. Defina
Se existir
então, como a função exponencial é contínua, teremos
Assim vamos calcular primeiro
.
Passo 3
Calculemos a expressão do logaritmo:
Observe que
, então
Logo
Passo 4
Avaliar o segundo termo facilmente: como
(número finito) e
, segue que
Passo 5
Falta avaliar o primeiro termo
. Separe em dois termos:
Mostremos que cada parcela tende a
quando
.
Para
use L’Hôpital: escreva
Ao aplicar a regra de L’Hôpital (forma
) obtém-se
Portanto
.
Para
proceda igual:
e aplicando L’Hôpital:
Logo
.
Com isso
.
Passo 6
Somando os limites dos dois termos do
, obtemos
Portanto
Resposta
1