Calcules os limites (aqui a utilização da regra de L’Hôspital é permitida)
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite:
Informações dadas: a expressão é uma potência em que tanto a base quanto o expoente dependem de
, e
tende a
. A regra de L’Hôpital está permitida, então posso usá-la para justificar limites logarítmicos quando necessário.
Passo 2
Vamos simplificar a base escrevendo-a de forma que fique parecida com
, que é o formato padrão para usar o limite exponencial clássico. Observe que
Defina
. Quando
, temos
. Em termos de
a expressão fica mais simples.
Passo 3
Reescrevendo o limite em função de
:
pois
. Agora separamos a potência:
Passo 4
Estudamos os limites das duas parcelas quando
.
Primeiro, a segunda parcela:
porque
e o expoente
é constante.
Agora a primeira parcela
. Usamos o limite padrão
aplicando aqui com
. Para justificar esse limite de forma didática (usando L’Hôpital), faça o seguinte: seja
Escreve-se
As duas funções no quociente vão para
, então aplicamos L’Hôpital diferenciando numerador e denominador em relação a
. Derivando o numerador:
Derivando o denominador:
Fazendo a razão das derivadas:
Portanto
, e exponenciando obtemos
.
Aplicando com
e
dá
Passo 5
Multiplicando os limites das parcelas (produto de limites, já que ambos existem finitos):