Calcules os limites (aqui a utilização da regra de L’Hôspital é permitida)
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{2 x-3}{2 x+5}\right)^{2 x+1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite:
\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{2x-3}{2x+5}\right)^{2x+1}.
Informações dadas: a expressão é uma potência em que tanto a base quanto o expoente dependem de x, e x tende a +\infty. A regra de L’Hôpital está permitida, então posso usá-la para justificar limites logarítmicos quando necessário.

Passo 2

Vamos simplificar a base escrevendo-a de forma que fique parecida com 1+\dfrac{a}{m}, que é o formato padrão para usar o limite exponencial clássico. Observe que
\frac{2x-3}{2x+5}=\frac{2x+5-8}{2x+5}=1-\frac{8}{2x+5}.
Defina \,m=2x+5\,. Quando x\to+\infty, temos m\to+\infty. Em termos de m a expressão fica mais simples.

Passo 3

Reescrevendo o limite em função de m:
\left(\frac{2x-3}{2x+5}\right)^{2x+1}=\left(1-\frac{8}{m}\right)^{m-4},
pois 2x+1=(2x+5)-4=m-4. Agora separamos a potência:
\left(1-\frac{8}{m}\right)^{m-4}=\left(1-\frac{8}{m}\right)^{m}\cdot\left(1-\frac{8}{m}\right)^{-4}.

Passo 4

Estudamos os limites das duas parcelas quando m\to+\infty.
Primeiro, a segunda parcela:
\lim_{m\to\infty}\left(1-\frac{8}{m}\right)^{-4}=1^{-4}=1,
porque \displaystyle\lim_{m\to\infty}\left(1-\frac{8}{m}\right)=1 e o expoente -4 é constante.
Agora a primeira parcela \left(1-\dfrac{8}{m}\right)^{m}. Usamos o limite padrão
\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{a}{t}\right)^{t}=e^{a},
aplicando aqui com a=-8. Para justificar esse limite de forma didática (usando L’Hôpital), faça o seguinte: seja
L=\lim_{t\to\infty} t\ln\!\left(1+\frac{a}{t}\right).
Escreve-se
L=\lim_{t\to\infty}\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{a}{t}\right)}{\dfrac{1}{t}}.
As duas funções no quociente vão para 0, então aplicamos L’Hôpital diferenciando numerador e denominador em relação a t. Derivando o numerador:
\frac{d}{dt}\ln\!\left(1+\frac{a}{t}\right)=\frac{1}{1+\tfrac{a}{t}}\cdot\left(-\frac{a}{t^{2}}\right)=-\frac{a}{t^{2}\left(1+\tfrac{a}{t}\right)}.
Derivando o denominador:
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{t}\right)=-\frac{1}{t^{2}}.
Fazendo a razão das derivadas:
L=\lim_{t\to\infty}\frac{-\dfrac{a}{t^{2}\left(1+\tfrac{a}{t}\right)}}{-\dfrac{1}{t^{2}}}=\lim_{t\to\infty}\frac{a}{1+\tfrac{a}{t}}=a.
Portanto \displaystyle\lim_{t\to\infty} t\ln\!\left(1+\frac{a}{t}\right)=a, e exponenciando obtemos \displaystyle\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{a}{t}\right)^{t}=e^{a}.
Aplicando com a=-8 e t=m
\lim_{m\to\infty}\left(1-\frac{8}{m}\right)^{m}=e^{-8}.

Passo 5

Multiplicando os limites das parcelas (produto de limites, já que ambos existem finitos):
\lim_{m\to\infty}\left(1-\frac{8}{m}\right)^{m-4}=\left(\lim_{m\to\infty}\left(1-\frac{8}{m}\right)^{m}\right)\cdot\left(\lim_{m\to\infty}\left(1-\frac{8}{m}\right)^{-4}\right)=e^{-8}\cdot 1=e^{-8}.

Resposta

e^{-8}

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