Calculle as integrais indefinidas abaixo.
c) integral cos ^4(x) sen(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida $ \int \cos^{4}(x) \sin(x) , dx $. Estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar o método de substituição, que facilita a integração quando a integral tem uma função composta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar a expressão. Observando $ \cos^{4}(x) \sin(x) $, percebemos que a derivada de $ \cos(x) $ é $ -\sin(x) $. Isso sugere que podemos fazer uma substituição envolvendo $ \cos(x) $.

Passo 3

Vamos definir nossa substituição:
u = cos(x)
Então, derivando ambos os lados em relação a $ x $:
x
Isso significa que $ \sin(x) , dx = -du $.

Passo 4

Agora, substituímos $ \cos(x) $ por $ u $ e $ \sin(x) , dx $ por $ -du $ na integral original:
cos(x)

Passo 5

Vamos integrar $ -\int u^{4} , du $. A integral de $ u^{4} $ em relação a $ u $ é:
-integral u^4 , du
Portanto:
u^4

Passo 6

Agora, substituímos $ u $ de volta por $ \cos(x) $:
u

Resposta

A solução da integral é:
-cos^5(x)5 + C

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