Calculle as integrais indefinidas abaixo.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida $ \int \cos^{4}(x) \sin(x) , dx $. Estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar o método de substituição, que facilita a integração quando a integral tem uma função composta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar a expressão. Observando $ \cos^{4}(x) \sin(x) $, percebemos que a derivada de $ \cos(x) $ é $ -\sin(x) $. Isso sugere que podemos fazer uma substituição envolvendo $ \cos(x) $.
Passo 3
Vamos definir nossa substituição:
Então, derivando ambos os lados em relação a $ x $:
Isso significa que $ \sin(x) , dx = -du $.
Passo 4
Agora, substituímos $ \cos(x) $ por $ u $ e $ \sin(x) , dx $ por $ -du $ na integral original:
Passo 5
Vamos integrar $ -\int u^{4} , du $. A integral de $ u^{4} $ em relação a $ u $ é:
Portanto:
Passo 6
Agora, substituímos $ u $ de volta por $ \cos(x) $:
Resposta
A solução da integral é: