Seja f(x)=sen x+cos x. Calcule f^prime(x), f^prime prime(x), f^prime prime prime(x) e f^(4)(x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as quatro primeiras derivadas de f(x)=sen x+cos x; vamos usar as regras básicas de derivação de funções trigonométricas (derivada de sen é cos, de cos é -sen).

Passo 2

Para encontrar f′(x), derivamos termo a termo: f′(x)=d(sen x)/dx + d(cos x)/dx = cos x − sen x.

Passo 3

Para obter f″(x), derivamos f′(x): f″(x)=d(cos x)/dx − d(sen x)/dx = −sen x − cos x = −(sen x+cos x).

Passo 4

Para achar f‴(x), derivamos f″(x): f‴(x)=d(−sen x)/dx + d(−cos x)/dx = −cos x + sen x = sen x−cos x.

Passo 5

Por fim, f⁽⁴⁾(x) vem de derivar f‴(x): f⁽⁴⁾(x)=d(sen x)/dx − d(cos x)/dx = cos x + sen x, que coincide com f(x).

Resposta

f'(x)=cos x-sin x
f''(x)=-l(sin x+cos x)
f'''(x)=sin x-cos x
f^(4)(x)=sin x+cos x

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