É expressamente proibido o uso de qualquer aparelho eletrônico durant prova. Respostas sem justificativas serão desconsideradas.
,6 1. (1 pt) Resolva o que é solicitado.
0,2b) Determine a função f(x), sabendo que
f^prime prime(x)=sen(x)+cos (x)
com f(0)=3 e f^prime(0)=4.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função f(x) sabendo que sua segunda derivada é f''(x)=sin(x)+cos(x) e que ela satisfaz as condições iniciais f(0)=3 e f'(0)=4. Vamos usar integração sucessiva para recuperar f'(x) e depois f(x).

Passo 2

Para obter f'(x), integramos f''(x). Como integralsin(x),dx=-cos(x) e integralcos(x),dx=sin(x), temos:
f'(x)=integral(sin(x)+cos(x)),dx=-cos(x)+sin(x)+C1

Passo 3

Agora usamos a condição f'(0)=4. Substituindo x=0 em f'(x):
f'(0)=-cos(0)+sin(0)+C1=-1+0+C1=C1-1

Passo 4

Como f'(0)=4, segue C1-1=4 e então C1=5. Assim:
f'(x)=-cos(x)+sin(x)+5

Passo 5

Em seguida, integramos f'(x) para encontrar f(x). Sabendo que integral(-cos(x))dx=-sin(x), integralsin(x)dx=-cos(x) e integral5,dx=5x, obtemos:
f(x)=-sin(x)-cos(x)+5x+C2

Passo 6

Por fim, aplicamos f(0)=3. Substituindo x=0:
f(0)=-sin(0)-cos(0)+5cdot0+C2=0-1+0+C2=C2-1

Passo 7

Da condição f(0)=3 tiramos C2-1=3, logo C2=4. Portanto encontramos a função f(x).

Resposta

f(x)=-sin(x)-cos(x)+5x+4

Exercícios relacionados