Calculo a área do sólido abaixo do gráfico da funçāo z = x + x*y e acima da regiāo D do plano x y. D é a regiāo do plano x y limitada pelo gráfico das funçōes y = x^4 e y = x.

Passo 1

Beleza, vamos calcular o volume do sólido que está abaixo do gráfico da função e acima da região no plano . A região é delimitada pelas curvas e . Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais duplas, que nos ajuda a encontrar volumes sobre regiões planas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender onde as duas curvas e se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Subtraindo de ambos os lados:
Fatorando:
Então, as soluções são e . Portanto, a região se estende de a .

Passo 3

Agora vamos determinar os limites para dentro dessa região. Para um valor específico de entre 0 e 1, varia de (a curva de baixo) até (a curva de cima). Então, nossos limites de integração são:

Passo 4

Com os limites definidos, podemos montar a integral dupla para calcular o volume :
Aqui, representa a função que define a altura do sólido em cada ponto .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja, integrar em relação a :
Integrando termo a termo:

Passo 6

Agora, integramos o resultado obtido em relação a de 0 a 1:
Integrando cada termo:

Passo 7

Vamos simplificar as frações encontradas:
Substituindo:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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