Calculo a área do sólido abaixo do gráfico da funçāo
e acima da regiāo
do plano
.
é a regiāo do plano
limitada pelo gráfico das funçōes
e
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o volume do sólido que está abaixo do gráfico da função
e acima da região
no plano
. A região
é delimitada pelas curvas
e
. Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais duplas, que nos ajuda a encontrar volumes sobre regiões planas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender onde as duas curvas
e
se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando:
Então, as soluções são
e
. Portanto, a região
se estende de
a
.
Passo 3
Agora vamos determinar os limites para
dentro dessa região. Para um valor específico de
entre 0 e 1,
varia de
(a curva de baixo) até
(a curva de cima). Então, nossos limites de integração são:
Passo 4
Com os limites definidos, podemos montar a integral dupla para calcular o volume
:
Aqui,
representa a função
que define a altura do sólido em cada ponto
.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja, integrar em relação a
:
Integrando termo a termo:
Passo 6
Agora, integramos o resultado obtido em relação a
de 0 a 1:
Integrando cada termo:
Passo 7
Vamos simplificar as frações encontradas:
Substituindo:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.