O cálculo de autovalores e autovetores é relacionado à resolução de algumas aplicações práticas de engenharia.
Considere a transformação abaixo:
T(x, y)=(x, 3 x+2 y)
Quais os autovetores relacionados a essa transformação?

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y) = (x,\;3x+2y).
Queremos encontrar os autovetores, ou seja, vetores não-nulos (x,y) tais que
T(x,y) = \lambda\,(x,y)
para algum escalar \lambda.

Passo 2

Vamos escrever T como produto de matriz por vetor. Se \displaystyle v=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}, então
T(v) = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 3 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.
Denotando A=\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 3 & 2\end{pmatrix}, o problema de autovalores e autovetores é resolver
A v = \lambda\,v,
isto é, (A - \lambda I)v = 0.

Passo 3

Para achar os possíveis \lambda, calculamos o polinômio característico:
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}1-\lambda & 0\\\ 3 & 2-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)\,(2-\lambda).
Daí vêm os autovalores
\lambda_1 = 1 \quad\text{e}\quad \lambda_2 = 2.

Passo 4

Para \lambda_1 = 1, resolvemos
\bigl(A - I\bigr)v = \begin{pmatrix}1-1 & 0\\\ 3 & 2-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
A segunda linha dá a equação
3x + y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = -3x.
Portanto, todo autovetor associado a \lambda_1=1 é proporcional a
\begin{pmatrix}1\\\ -3\end{pmatrix}.

Passo 5

Para \lambda_2 = 2, resolvemos
\bigl(A - 2I\bigr)v = \begin{pmatrix}1-2 & 0\\\ 3 & 2-2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 0\\\ 3 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira equação vem -x=0, ou seja x=0, e não há restrição em y. Logo os autovetores associados a \lambda_2=2 são todos os múltiplos de
\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}.

Resposta

Os autovetores de T são:
para \lambda=1, vetores colineares a \bigl(1,-3\bigr);
para \lambda=2, vetores colineares a \bigl(0,1\bigr).

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