Durante o cálculo de matrizes, algumas definições auxiliam tanto na categorização delas, como no aumento de praticidade ao se fazer certos cálculos matriciais.
Elaborado pelo Professor, 2019.
Sobre matrizes, afirma-se:
I. Se apenas os elementos a11, a22 e a33 em uma matriz 3 \times 3 são não nulos, pode-se dizer que a matriz é “diagonal” e seu determinante será igual a multiplicação destes elementos.
II. Se todos os elementos de uma matriz são nulos ela é classificada como matriz triangular e possui determinante igual a zero.
III. Se apenas os elementos a11, a22 e a33 em uma matriz 3 \times 3 são não nulos e iguais a 1, pode-se dizer que a matriz é “identidade” e seu determinante será igual a 1.
IV. Em uma matriz nula todos os elementos serão iguais a zero.
Estão corretas as afirmativas:

Passo 1

O enunciado pede para verificar quatro afirmativas sobre classificações de matrizes (\emph{diagonal}, \emph{triangular}, \emph{identidade}, \emph{nula}) e calcular seus determinantes quando pertinente. Vamos usar as definições padrão de cada tipo de matriz e a propriedade de que o determinante de uma matriz triangular (ou diagonal) é o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 2

Analisando I: “Se apenas os elementos a_{11}, a_{22} e a_{33} em uma matriz 3\times3 são não nulos, pode-se dizer que a matriz é ‘diagonal’ e seu determinante será igual à multiplicação destes elementos.”
Uma matriz é diagonal quando a_{ij}=0 para i\neq j, e vale que
\det(D)=a_{11}\,a_{22}\,a_{33}.
Logo, I é verdadeira.

Passo 3

Analisando II: “Se todos os elementos de uma matriz são nulos ela é classificada como matriz triangular e possui determinante igual a zero.”
A matriz nula satisfaz tanto a condição de triangular superior quanto inferior (todos os elementos fora da diagonal são zero). E como o determinante de uma triangular é o produto dos elementos da diagonal, cada a_{ii}=0 implica
\det(0)=0\,.
Portanto, II é verdadeira.

Passo 4

Analisando III: “Se apenas os elementos a_{11}, a_{22} e a_{33} em uma matriz 3\times3 são não nulos e iguais a 1, pode-se dizer que a matriz é ‘identidade’ e seu determinante será igual a 1.”
Isto coincide exatamente com a definição de matriz identidade I_3, cuja diagonal é toda 1 e \det(I_3)=1. Logo, III é verdadeira.

Passo 5

Analisando IV: “Em uma matriz nula todos os elementos serão iguais a zero.”
Isto é a própria definição de matriz nula. Logo, IV é verdadeira.

Passo 6

Como I, II, III e IV são todas verdadeiras, a resposta reúne todas as afirmativas.

Resposta

I, II, III e IV.

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