Deseja-se saber informações sobre um conjunto de itens em um estoque. Para isso, para dois itens colineares foram definidas as seguintes posições:
ITEM A: (2,1,4);
ITEM B: (5,1,6);
Texto elaborado pelo Professor, 2018.
Sobre outros itens do mesmo estoque, avalie as afirmações a seguir:
I. \mathrm{P}(8,1,8) corresponde a um item colinear a A e B .
II. P(11,3,10) corresponde a um item colinear a A e B.
III. \mathrm{P}(3,3,3) está mais próximo do item A do que do item B .
IV. \mathrm{P}(3,5,1,5) está exatamente no meio do caminho entre os dois.
Esta correto o que se afirma em:

Passo 1

O enunciado dá os pontos de dois itens colineares em \mathbb{R}^3:
A = (2,1,4),\quad B = (5,1,6).
O conteúdo aqui envolve
– testar colinearidade pelo vetor diretor \vec{AB},
– comparar distâncias para ver qual ponto está mais próximo,
– e calcular o ponto médio para verificar se um ponto está “no meio do caminho”.

Passo 2

Para ver se P_1=(8,1,8) é colinear com A e B, calculemos
\vec{AB} = B - A = (5-2,\;1-1,\;6-4) = (3,0,2),
\vec{AP_1} = P_1 - A = (8-2,\;1-1,\;8-4) = (6,0,4).
Como \vec{AP_1} = 2\,(3,0,2) = 2\,\vec{AB}, os vetores são linearmente dependentes e P_1 é colinear com A e B. Logo, a afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Para P_2=(11,3,10),
\vec{AP_2} = (11-2,\;3-1,\;10-4) = (9,2,6).
Se fosse colinear teríamos \vec{AP_2}=t\,(3,0,2). Mas de 3t=9 vem t=3 e então 0\cdot t=0\neq2. Logo não é múltiplo de \vec{AB} e P_2 não é colinear com A e B. A afirmação II é falsa.

Passo 4

Para P_3=(3,3,3), comparemos as distâncias a A e a B:
d(A,P_3)=\sqrt{(3-2)^2+(3-1)^2+(3-4)^2} =\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}\approx2{,}45,
d(B,P_3)=\sqrt{(3-5)^2+(3-1)^2+(3-6)^2} =\sqrt{4+4+9}=\sqrt{17}\approx4{,}12.
Como d(A,P_3)<d(B,P_3), P_3 está mais próximo de A que de B. A afirmação III é verdadeira.

Passo 5

Finalmente, seja P_4=(3,5,1,5). Interprete-se (3,5,1,5) como as coordenadas
\Bigl(\tfrac{7}{2},\,1,\,\tfrac{10}{2}\Bigr)=(3{,}5,1,5).
O ponto médio de A e B é
M=\Bigl(\tfrac{2+5}{2},\,\tfrac{1+1}{2},\,\tfrac{4+6}{2}\Bigr) =\bigl(3{,}5,\,1,\,5\bigr).
Como P_4=M, P_4 está exatamente no meio do caminho entre A e B. A afirmação IV é verdadeira.

Resposta

Estão corretas as afirmações I, III e IV.

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