Calculo o limite, caso exista. Se não existir, justifique:
a) \lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{|x-1|}{x-1}
b) \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{|x-1|}{x-1}
c) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{|x-1|}{x-1}
d) \lim _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{x^{2}-2 x+1}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular limites — unilaterais e bilateral — de funções que envolvem valor absoluto e fatoração de polinômio. Vamos usar a definição de valor absoluto e simplificar as expressões para cada região de interesse.

Passo 2

Para x>1, temos \lvert x-1\rvert = x-1. Assim,
\frac{\lvert x-1\rvert}{x-1} =\frac{x-1}{x-1}=1.
Logo,
\lim_{x\to1^{+}}\frac{\lvert x-1\rvert}{x-1}=1.

Passo 3

Para x<1, temos \lvert x-1\rvert = -(x-1)=1-x. Então
\frac{\lvert x-1\rvert}{x-1} =\frac{1-x}{x-1} =-1.
Logo,
\lim_{x\to1^{-}}\frac{\lvert x-1\rvert}{x-1}=-1.

Passo 4

Como o limite pela direita é 1 e o limite pela esquerda é -1, eles não coincidem. Portanto
\lim_{x\to1}\frac{\lvert x-1\rvert}{x-1}
não existe, pois não há um único valor comum.

Passo 5

Para x próximo de 2, observe que
x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2.
Logo, para x\neq1,
\frac{x^2-2x+1}{x-1} =\frac{(x-1)^2}{x-1}=x-1.
Fazendo x\to2^{+}, tem-se
\lim_{x\to2^{+}}\frac{x^2-2x+1}{x-1} =\lim_{x\to2^{+}}(x-1)=1.

Resposta

a) 1
b) -1
c) não existe
d) 1

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