Calcule \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} sendo f a função dada nos itens abaixo:
f(x)=-x^{3}+2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
sendo f(x)=-x^3+2. Isso é exatamente o conceito de derivada de f em x, usando a definição de quociente incremental.

Passo 2

Primeiro substituímos x+h em f. Temos
f(x+h)=-(x+h)^3+2.
Expandindo o cubo: (x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3. Logo,
f(x+h)= -\bigl(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3\bigr) + 2 = -x^3 - 3x^2h - 3xh^2 - h^3 + 2.

Passo 3

Agora calculamos o numerador do quociente incremental:
f(x+h)-f(x) = \bigl(-x^3 - 3x^2h - 3xh^2 - h^3 + 2\bigr) - \bigl(-x^3 + 2\bigr) = -3x^2h - 3xh^2 - h^3.

Passo 4

Dividimos pelo h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{-3x^2h - 3xh^2 - h^3}{h} = -3x^2 - 3xh - h^2.

Passo 5

Por fim, tomamos o limite quando h \to 0:
\lim_{h \to 0}\bigl(-3x^2 - 3xh - h^2\bigr) = -3x^2.

Resposta

\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = -3x^2.

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