Cálculo da matriz exponencial
\begin{aligned} & \dot{x}=-4 x+6 y \\\ & \dot{y}=-3 x+5 y \\\ & x(0)=3, \quad y(0)=2 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de ordem 1 com condições iniciais. Mais precisamente:
  • Sistema dado:
\dot{x} = -4x + 6y, \qquad \dot{y} = -3x + 5y.
  • Condições iniciais:
x(0)=3,\qquad y(0)=2.
O que o problema pede: encontrar as funções x(t) e y(t) que satisfazem o sistema e as condições iniciais.

Passo 2

Vamos escrever o sistema em forma matricial, que é uma maneira compacta e útil para aplicar ferramentas (como exponencial de matriz). Definindo o vetor
\mathbf{u}(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\[4pt]y(t)\end{pmatrix},
podemos escrever o sistema como
\dot{\mathbf{u}}(t)=A\,\mathbf{u}(t),
onde A é a matriz de coeficientes. Escrevendo os coeficientes do enunciado, obtemos
A=\begin{pmatrix}-4 & 6\\[4pt]-3 & 5\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{u}(0)=\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Aqui cada entrada a_{ij} de A é o coeficiente que multiplica a coordenada j na equação i. A solução geral é
\mathbf{u}(t)=e^{At}\,\mathbf{u}(0),
onde e^{At} é a exponencial da matriz A multiplicada por t. Vou explicar e calcular e^{At} passo a passo.]

Passo 3

Escolha do método: como A é uma matriz 2\times2 com autovalores reais distintos (isso ainda precisa ser verificado), a maneira mais direta é diagonalizar A na forma A=PDP^{-1} e usar
e^{At}=P\,e^{Dt}\,P^{-1},
porque e^{Dt} é simples (é diagonal com exponenciais das entradas). Se a matriz não fosse diagonalizável, teríamos que usar a forma de Jordan; mas aqui vamos verificar que há autovalores distintos e diagonalização funciona bem — é um método rápido na prova.

Passo 4

Calcular os autovalores de A. Fazemos o polinômio característico:
\det(A-\lambda I) = \det\begin{pmatrix}-4-\lambda & 6\\[4pt]-3 & 5-\lambda\end{pmatrix}.
Calculando o determinante:
\det(A-\lambda I)=(-4-\lambda)(5-\lambda)-6(-3).
Desenvolvendo:
(-4-\lambda)(5-\lambda)=(-4)(5)+(-4)(-\lambda)+(-\lambda)(5)+(-\lambda)(-\lambda) =-20+4\lambda-5\lambda+\lambda^{2}=\lambda^{2}-\lambda-20.
Somando o termo -6(-3)=+18 obtemos
\det(A-\lambda I)=\lambda^{2}-\lambda-20+18=\lambda^{2}-\lambda-2.
Agora resolvemos \lambda^{2}-\lambda-2=0. Fatorando:
\lambda^{2}-\lambda-2=(\lambda-2)(\lambda+1).
Portanto os autovalores são
\lambda_{1}=2,\qquad \lambda_{2}=-1.]

Passo 5

Calcular um autovetor associado a \lambda_{1}=2. Resolvemos (A-2I)\mathbf{v}=0:
A-2I=\begin{pmatrix}-4-2 & 6\\[4pt]-3 & 5-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6 & 6\\[4pt]-3 & 3\end{pmatrix}.
A equação (A-2I)\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix}=0 dá, pela primeira linha,
-6v_1+6v_2=0 \quad\Rightarrow\quad v_2=v_1.
Escolhemos uma solução simples v_1=1, então um autovetor é
\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular um autovetor associado a \lambda_{2}=-1. Resolvemos (A+I)\mathbf{v}=0:
A+I=\begin{pmatrix}-4+1 & 6\\[4pt]-3 & 5+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 & 6\\[4pt]-3 & 6\end{pmatrix}.
A equação da primeira linha é
-3v_1+6v_2=0 \quad\Rightarrow\quad v_2=\tfrac{1}{2}v_1.
Escolhendo v_2=1 (para evitar frações iniciais), temos v_1=2. Assim um autovetor é
\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Formar as matrizes P e D da diagonalização. Colocando os autovetores em colunas:
P=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}, \qquad D=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix},
de modo que A=PDP^{-1}.
Agora calculamos P^{-1}. O determinante de P é
\det P = 1\cdot 1 - 2\cdot 1 = -1.
A inversa de uma 2\times2 é (1/\det) \begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix}. Assim
P^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 8

Usar a fórmula da exponencial para matriz diagonalizável. Se A=PDP^{-1} então
e^{At}=P\,e^{Dt}\,P^{-1},
e como D é diagonal,
e^{Dt}=\begin{pmatrix}e^{\lambda_{1}t} & 0\\[4pt]0 & e^{\lambda_{2}t}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}e^{2t} & 0\\[4pt]0 & e^{-t}\end{pmatrix}.
Essa fórmula vale porque e^{At} pode ser definido pela série de potências e a conjugação por P leva potências de A para potências de D.]

Passo 9

Calcular P\,e^{Dt}. Multiplicando
P\,e^{Dt}= \begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{2t} & 0\\[4pt]0 & e^{-t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}e^{2t} & 2e^{-t}\\[4pt]e^{2t} & e^{-t}\end{pmatrix}.]

Passo 10

Agora calcular e^{At}=P\,e^{Dt}\,P^{-1}. Multiplicando pela direita por P^{-1}=\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}:
e^{At}= \begin{pmatrix}e^{2t} & 2e^{-t}\\[4pt]e^{2t} & e^{-t}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.
Fazendo a multiplicação de matrizes entrada a entrada:
  • Primeira linha, primeira coluna:
-e^{2t}+2e^{-t}.
  • Primeira linha, segunda coluna:
2e^{2t}-2e^{-t}.
  • Segunda linha, primeira coluna:
-e^{2t}+e^{-t}.
  • Segunda linha, segunda coluna:
2e^{2t}-e^{-t}.
Portanto
e^{At}=\begin{pmatrix} -e^{2t}+2e^{-t} & 2e^{2t}-2e^{-t}\\[6pt] -e^{2t}+e^{-t} & 2e^{2t}-e^{-t} \end{pmatrix}.]

Passo 11

Calcular a solução usando \mathbf{u}(t)=e^{At}\mathbf{u}(0). Multiplicamos e^{At} pelo vetor inicial \mathbf{u}(0)=\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Componente x(t) (primeira coordenada):
x(t)=\bigl(-e^{2t}+2e^{-t}\bigr)\cdot 3 + \bigl(2e^{2t}-2e^{-t}\bigr)\cdot 2.
Desenvolvendo:
x(t)=-3e^{2t}+6e^{-t}+4e^{2t}-4e^{-t}=( -3e^{2t}+4e^{2t} ) + (6e^{-t}-4e^{-t} ).
Simplificando:
x(t)=e^{2t}+2e^{-t}.]

Passo 12

Componente y(t) (segunda coordenada):
y(t)=\bigl(-e^{2t}+e^{-t}\bigr)\cdot 3 + \bigl(2e^{2t}-e^{-t}\bigr)\cdot 2.
Desenvolvendo:
y(t)=-3e^{2t}+3e^{-t}+4e^{2t}-2e^{-t}=( -3e^{2t}+4e^{2t} ) + (3e^{-t}-2e^{-t} ).
Simplificando:
y(t)=e^{2t}+e^{-t}.

Passo 13

Verificação rápida das condições iniciais (checar se não houve erro): para t=0,
x(0)=e^{0}+2e^{0}=1+2=3,\qquad y(0)=e^{0}+e^{0}=1+1=2,
que coincidem com as condições iniciais dadas. Portanto as funções encontradas satisfazem o sistema e as condições iniciais.

Resposta

x(t)=e^{2t}+2e^{-t}\n
y(t)=e^{2t}+e^{-t}

Exercícios relacionados