Cálculo da matriz exponencial
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear de ordem 1 com condições iniciais. Mais precisamente:
- Sistema dado:
- Condições iniciais:
O que o problema pede: encontrar as funções
e
que satisfazem o sistema e as condições iniciais.
Passo 2
Vamos escrever o sistema em forma matricial, que é uma maneira compacta e útil para aplicar ferramentas (como exponencial de matriz). Definindo o vetor
podemos escrever o sistema como
onde
é a matriz de coeficientes. Escrevendo os coeficientes do enunciado, obtemos
Aqui cada entrada
de
é o coeficiente que multiplica a coordenada
na equação
. A solução geral é
onde
é a exponencial da matriz
multiplicada por
. Vou explicar e calcular
passo a passo.]
Passo 3
Escolha do método: como
é uma matriz
com autovalores reais distintos (isso ainda precisa ser verificado), a maneira mais direta é diagonalizar
na forma
e usar
porque
é simples (é diagonal com exponenciais das entradas). Se a matriz não fosse diagonalizável, teríamos que usar a forma de Jordan; mas aqui vamos verificar que há autovalores distintos e diagonalização funciona bem — é um método rápido na prova.
Passo 4
Calcular os autovalores de
. Fazemos o polinômio característico:
Calculando o determinante:
Desenvolvendo:
Somando o termo
obtemos
Agora resolvemos
. Fatorando:
Portanto os autovalores são
Passo 5
Calcular um autovetor associado a
. Resolvemos
:
A equação
dá, pela primeira linha,
Escolhemos uma solução simples
, então um autovetor é
Passo 6
Calcular um autovetor associado a
. Resolvemos
:
A equação da primeira linha é
Escolhendo
(para evitar frações iniciais), temos
. Assim um autovetor é
Passo 7
Formar as matrizes
e
da diagonalização. Colocando os autovetores em colunas:
de modo que
.
Agora calculamos
. O determinante de
é
A inversa de uma
é
. Assim
Passo 8
Usar a fórmula da exponencial para matriz diagonalizável. Se
então
e como
é diagonal,
Essa fórmula vale porque
pode ser definido pela série de potências e a conjugação por
leva potências de
para potências de
.]
Passo 9
Calcular
. Multiplicando
Passo 10
Agora calcular
. Multiplicando pela direita por
:
Fazendo a multiplicação de matrizes entrada a entrada:
- Primeira linha, primeira coluna:
- Primeira linha, segunda coluna:
- Segunda linha, primeira coluna:
- Segunda linha, segunda coluna:
Portanto
Passo 11
Calcular a solução usando
. Multiplicamos
pelo vetor inicial
.
Componente
(primeira coordenada):
Desenvolvendo:
Simplificando:
Passo 12
Componente
(segunda coordenada):
Desenvolvendo:
Simplificando:
Passo 13
Verificação rápida das condições iniciais (checar se não houve erro): para
,
que coincidem com as condições iniciais dadas. Portanto as funções encontradas satisfazem o sistema e as condições iniciais.