Aqui cada termo (\mathbf{M}t)^{k} significa multiplicação matricial repetida e k! é o fatorial de k.
No caso dado, \mathbf{M}=\mathbf{A} é a matriz nula. Vou analisar o que acontecem os termos da série para essa matriz.
Passo 3
Propriedades da matriz nula usadas (explicadas devagarzinho):
A matriz nula \mathbf{0} tem todas entradas iguais a zero.
Para multiplicação matricial, multiplicar qualquer matriz por \mathbf{0} (à esquerda ou à direita, quando dimensões permitirem) resulta em \mathbf{0}. Em particular, para potências:
\mathbf{0}^{1}=\mathbf{0},\qquad \mathbf{0}^{2}=\mathbf{0}\cdot\mathbf{0}=\mathbf{0},\qquad \mathbf{0}^{k}=\mathbf{0}\\ \text{para todo }k\ge 1.
O termo da série com k=0 é definido como a matriz identidade \mathbf{I} (por convenção em séries de potências):
Para k\ge 1 temos (\mathbf{A}t)^{k}=t^{k}\,\mathbf{A}^{k}=t^{k}\,\mathbf{0}=\mathbf{0}. Então todos os termos com k\ge 1 são a matriz nula.
Assim a soma infinita reduz-se ao termo k=0 apenas, que é a matriz identidade \mathbf{I}. Em palavras: a série é \mathbf{I}+\mathbf{0}+\mathbf{0}+\cdots=\mathbf{I}.
Passo 5
Verificação alternativa (intuitiva, sem calcular série):
A exponencial matricial também é solução da equação diferencial matricial
Se \mathbf{A}=\mathbf{0}, a equação fica \dfrac{d}{dt}\mathbf{X}(t)=\mathbf{0}, cuja solução com condição inicial \mathbf{X}(0)=\mathbf{I} é a função constante \mathbf{X}(t)=\mathbf{I}. Isso confirma o resultado obtido pela série.