Determine e^{\boldsymbol{A} t} para as matrizes \boldsymbol{A} representadas a seguir:
\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dada a matriz \mathbf{A} = \left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0\end{array}\right] (a matriz nula 3\times3).
  • Pede-se calcular e^{\mathbf{A}t}, a exponencial da matriz multiplicada por um parâmetro real t.]

Passo 2

Definição e ideia principal que vou usar:
  • A exponencial de uma matriz é definida pela série de potências, para qualquer matriz quadrada \mathbf{M} e escalar t:
e^{\mathbf{M}t}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\mathbf{M}t)^{k}}{k!}.
Aqui cada termo (\mathbf{M}t)^{k} significa multiplicação matricial repetida e k! é o fatorial de k.
  • No caso dado, \mathbf{M}=\mathbf{A} é a matriz nula. Vou analisar o que acontecem os termos da série para essa matriz.

Passo 3

Propriedades da matriz nula usadas (explicadas devagarzinho):
  • A matriz nula \mathbf{0} tem todas entradas iguais a zero.
  • Para multiplicação matricial, multiplicar qualquer matriz por \mathbf{0} (à esquerda ou à direita, quando dimensões permitirem) resulta em \mathbf{0}. Em particular, para potências:
\mathbf{0}^{1}=\mathbf{0},\qquad \mathbf{0}^{2}=\mathbf{0}\cdot\mathbf{0}=\mathbf{0},\qquad \mathbf{0}^{k}=\mathbf{0}\\ \text{para todo }k\ge 1.
  • O termo da série com k=0 é definido como a matriz identidade \mathbf{I} (por convenção em séries de potências):
(\mathbf{M}t)^{0}=\mathbf{I}\quad\text{e portanto}\quad\frac{(\mathbf{M}t)^{0}}{0!}=\mathbf{I}.

Passo 4

Aplicando isso à série de e^{\mathbf{A}t}:
  • Para k\ge 1 temos (\mathbf{A}t)^{k}=t^{k}\,\mathbf{A}^{k}=t^{k}\,\mathbf{0}=\mathbf{0}. Então todos os termos com k\ge 1 são a matriz nula.
  • Assim a soma infinita reduz-se ao termo k=0 apenas, que é a matriz identidade \mathbf{I}. Em palavras: a série é \mathbf{I}+\mathbf{0}+\mathbf{0}+\cdots=\mathbf{I}.

Passo 5

Verificação alternativa (intuitiva, sem calcular série):
  • A exponencial matricial também é solução da equação diferencial matricial
\frac{d}{dt}\mathbf{X}(t)=\mathbf{A}\,\mathbf{X}(t),\qquad \mathbf{X}(0)=\mathbf{I}.
  • Se \mathbf{A}=\mathbf{0}, a equação fica \dfrac{d}{dt}\mathbf{X}(t)=\mathbf{0}, cuja solução com condição inicial \mathbf{X}(0)=\mathbf{I} é a função constante \mathbf{X}(t)=\mathbf{I}. Isso confirma o resultado obtido pela série.

Resposta

e^{\mathbf{A}t}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}]

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