Determine e^{\boldsymbol{A} t} para as matrizes \boldsymbol{A} representadas a seguir:
\left[\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Pedido: calcular e^{\boldsymbol{A}t}, a exponencial da matriz \boldsymbol{A}.
  • Matriz dada:
\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
  • Informação útil que já se vê na matriz: é uma matriz triangular superior; os autovalores (entradas da diagonal) são -1,\;2,\;2.]

Passo 2

Escolha do método (explicando por que): vou calcular e^{\boldsymbol{A}t} usando a observação de que \boldsymbol{A} é triangular superior. Para matrizes triangulares a exponencial também é triangular, com as entradas da diagonal sendo simplesmente e^{\lambda t} (onde \lambda são as entradas da diagonal). As entradas acima da diagonal podem ser obtidas resolvendo os vetores-coluna da matriz fundamental X'(t)=\boldsymbol{A}X(t) com condições iniciais coluna por coluna (ou usando a decomposição em blocos de Jordan). Vou usar a abordagem coluna a coluna porque fica muito didática: cada coluna de e^{\boldsymbol{A}t} é a solução do sistema linear com condição inicial sendo o respectivo vetor canônico.

Passo 3

Conceitos necessários (muito prático e direto).
  • Definição: e^{\boldsymbol{A}t} é a matriz que satisfaz
\frac{d}{dt}X(t)=\boldsymbol{A}X(t),\qquad X(0)=\boldsymbol{I},
ou equivalently e^{\boldsymbol{A}t}=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(\boldsymbol{A}t)^k}{k!}.
  • Para matriz triangular superior, as entradas diagonais de e^{\boldsymbol{A}t} são e^{\lambda_i t} onde \lambda_i são as entradas da diagonal de \boldsymbol{A}.
  • Para resolver cada coluna x(t) com x'(t)=\boldsymbol{A}x(t) e x(0)=e_j (vetor canônico), usa-se equações diferenciais ordinárias de primeira ordem — técnicas: solução direta de equações separadas, fator integrante, e integração por partes quando necessário. Vou aplicar essas técnicas explicitamente.

Passo 4

Diagonal: cálculo das entradas diagonais (passo simples, pedacinho de aula).
As equações associadas a componentes puramente diagonais (ou observar diretamente a propriedade de matriz triangular) nos dão imediatamente:
e_{11}(t)=e^{-t},\qquad e_{22}(t)=e^{2t},\qquad e_{33}(t)=e^{2t},
onde e_{ij}(t) é a entrada (i,j) de e^{\boldsymbol{A}t}. Isso porque, por exemplo, a terceira componente da coluna associada a e_3 satisfaz x_3'=2x_3,\;x_3(0)=1, logo x_3(t)=e^{2t}, etc.

Passo 5

Segunda coluna: resolver coluna correspondente a [e_2=(0,1,0)^\top).
Escrevendo as equações para x(t)=(x_1,x_2,x_3)^\top com x(0)=e_2:
\begin{cases} x_1' = -x_1 + x_2,\\[4pt] x_2' = 2x_2 + x_3,\\[4pt] x_3' = 2x_3, \end{cases} \qquad x(0)=(0,1,0)^\top.
Resolvendo de baixo para cima:
  • Terceira equação: (x_3’ = 2x_3,;x_3(0)=0] dá
    x_3(t)=0.
  • Segunda equação: x_2' = 2x_2 + x_3 = 2x_2 com x_2(0)=1
x_2(t)=e^{2t}.
  • Primeira equação: x_1' + x_1 = x_2(t)=e^{2t} com x_1(0)=0. Usamos fator integrante e^{t}:
\frac{d}{dt}(e^{t}x_1)=e^{t}e^{2t}=e^{3t}.
Integrando de 0 a t:
e^{t}x_1(t)=\int_{0}^{t}e^{3s}\,ds=\frac{1}{3}\bigl(e^{3t}-1\bigr).
Portanto
x_1(t)=e^{-t}\cdot\frac{1}{3}\bigl(e^{3t}-1\bigr)=\frac{1}{3}\bigl(e^{2t}-e^{-t}\bigr).
Conclusão para a segunda coluna:
\text{col}_2\bigl(e^{\boldsymbol{A}t}\bigr)=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{3}\bigl(e^{2t}-e^{-t}\bigr)\\[6pt] e^{2t}\\[6pt] 0 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Terceira coluna: resolver coluna correspondente a [e_3=(0,0,1)^\top).
Novamente escrevemos as equações com condição inicial x(0)=e_3:
\begin{cases} x_1' = -x_1 + x_2,\\[4pt] x_2' = 2x_2 + x_3,\\[4pt] x_3' = 2x_3, \end{cases} \qquad x(0)=(0,0,1)^\top.
Resolver de baixo para cima:
  • Terceira equação: (x_3’ = 2x_3,;x_3(0)=1] dá
    x_3(t)=e^{2t}.
  • Segunda equação: x_2' - 2x_2 = x_3(t)=e^{2t} com x_2(0)=0. Usar fator integrante e^{-2t}:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{-2t}x_2\bigr)=1.
Integrando de 0 a t:
e^{-2t}x_2(t)=t \quad\Rightarrow\quad x_2(t)=t\,e^{2t}.
  • Primeira equação: x_1' + x_1 = x_2(t)=t e^{2t} com x_1(0)=0. Usa-se fator integrante e^{t}:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}x_1\bigr)=e^{t}\cdot t e^{2t}=t e^{3t}.
Precisamos calcular a integral \int_{0}^{t} s e^{3s}\,ds. Fazendo integração por partes:
\int s e^{3s}\,ds=\frac{1}{3}s e^{3s}-\int\frac{1}{3}e^{3s}\,ds =\frac{1}{3}s e^{3s}-\frac{1}{9}e^{3s}+C =\frac{e^{3s}}{9}(3s-1)+C.
Avaliado de 0 a t:
\int_{0}^{t} s e^{3s}\,ds=\frac{e^{3t}}{9}(3t-1)+\frac{1}{9}.
Logo
e^{t}x_1(t)=\frac{e^{3t}}{9}(3t-1)+\frac{1}{9},
e portanto
x_1(t)=e^{-t}\left(\frac{e^{3t}}{9}(3t-1)+\frac{1}{9}\right) =\frac{1}{9}\bigl((3t-1)e^{2t}+e^{-t}\bigr).
Conclusão para a terceira coluna:
\text{col}_3\bigl(e^{\boldsymbol{A}t}\bigr)=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{9}\bigl((3t-1)e^{2t}+e^{-t}\bigr)\\[8pt] t\,e^{2t}\\[6pt] e^{2t} \end{pmatrix}.]

Passo 7

Montagem da matriz exponencial: juntando as colunas obtidas e lembrando que a matriz é triangular superior (as entradas abaixo da diagonal são zero), obtemos
e^{\boldsymbol{A}t}= \begin{pmatrix} e^{-t} & \dfrac{1}{3}\bigl(e^{2t}-e^{-t}\bigr) & \dfrac{1}{9}\bigl((3t-1)e^{2t}+e^{-t}\bigr)\\[10pt] 0 & e^{2t} & t\,e^{2t}\\[6pt] 0 & 0 & e^{2t} \end{pmatrix}.
Uma checagem rápida: em t=0 cada entrada diagonal vira 1 e as outras entradas acima da diagonal viram 0, então e^{\boldsymbol{A}\cdot 0}=\boldsymbol{I}, como deve ser.]

Resposta

e^{\boldsymbol{A}t}= \begin{pmatrix} e^{-t} & \dfrac{1}{3}\bigl(e^{2t}-e^{-t}\bigr) & \dfrac{1}{9}\bigl((3t-1)e^{2t}+e^{-t}\bigr)\\[10pt] 0 & e^{2t} & t\,e^{2t}\\[6pt] 0 & 0 & e^{2t} \end{pmatrix}]

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