Informação útil que já se vê na matriz: é uma matriz triangular superior; os autovalores (entradas da diagonal) são -1,\;2,\;2.]
Passo 2
Escolha do método (explicando por que): vou calcular e^{\boldsymbol{A}t} usando a observação de que \boldsymbol{A} é triangular superior. Para matrizes triangulares a exponencial também é triangular, com as entradas da diagonal sendo simplesmente e^{\lambda t} (onde \lambda são as entradas da diagonal). As entradas acima da diagonal podem ser obtidas resolvendo os vetores-coluna da matriz fundamental X'(t)=\boldsymbol{A}X(t) com condições iniciais coluna por coluna (ou usando a decomposição em blocos de Jordan). Vou usar a abordagem coluna a coluna porque fica muito didática: cada coluna de e^{\boldsymbol{A}t} é a solução do sistema linear com condição inicial sendo o respectivo vetor canônico.
Passo 3
Conceitos necessários (muito prático e direto).
Definição: e^{\boldsymbol{A}t} é a matriz que satisfaz
ou equivalently e^{\boldsymbol{A}t}=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(\boldsymbol{A}t)^k}{k!}.
Para matriz triangular superior, as entradas diagonais de e^{\boldsymbol{A}t} são e^{\lambda_i t} onde \lambda_i são as entradas da diagonal de \boldsymbol{A}.
Para resolver cada coluna x(t) com x'(t)=\boldsymbol{A}x(t) e x(0)=e_j (vetor canônico), usa-se equações diferenciais ordinárias de primeira ordem — técnicas: solução direta de equações separadas, fator integrante, e integração por partes quando necessário. Vou aplicar essas técnicas explicitamente.
Passo 4
Diagonal: cálculo das entradas diagonais (passo simples, pedacinho de aula).
As equações associadas a componentes puramente diagonais (ou observar diretamente a propriedade de matriz triangular) nos dão imediatamente:
onde e_{ij}(t) é a entrada (i,j) de e^{\boldsymbol{A}t}. Isso porque, por exemplo, a terceira componente da coluna associada a e_3 satisfaz x_3'=2x_3,\;x_3(0)=1, logo x_3(t)=e^{2t}, etc.
Passo 5
Segunda coluna: resolver coluna correspondente a [e_2=(0,1,0)^\top).
Escrevendo as equações para x(t)=(x_1,x_2,x_3)^\top com x(0)=e_2:
Montagem da matriz exponencial: juntando as colunas obtidas e lembrando que a matriz é triangular superior (as entradas abaixo da diagonal são zero), obtemos
Uma checagem rápida: em t=0 cada entrada diagonal vira 1 e as outras entradas acima da diagonal viram 0, então e^{\boldsymbol{A}\cdot 0}=\boldsymbol{I}, como deve ser.]