ache , determine onde é contínua e ache , e ache .

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial
barF(t)=5t^2,i ;+;(3t+1),j;+;(3 - t^2),k
e o ponto t0=1. Precisamos de
  1. limtto t0barF(t),
  2. determinar onde barF é contínua,
  3. barF'(t0),
  4. barF''(t0).

Passo 2

Como cada componente de barF(t) é um polinômio em t, o limite quando tto t0 é simplesmente a avaliação em t0. Logo,
limtto1barF(t) =;5cdot1^2,i ;+;(3cdot1+1),j;+;(3-1^2),k =5,i+4,j+2,k

Passo 3

Funções polinomiais são contínuas em todo R. Como cada componente de barF(t) é polinomial, concluímos que barF é contínua para todo tinR.

Passo 4

Para barF'(t) diferenciamos componente a componente:
barF'(t) =ddt(5t^2),i+ddt(3t+1),j+ddt(3-t^2),k =10t,i+3,j-2t,k
Avaliando em t=1,
barF'(1)=10cdot1,i+3,j-2cdot1,k =10,i+3,j-2,k

Passo 5

Para barF''(t) diferenciamos barF'(t) novamente:
barF''(t) =ddt(10t),i+ddt(3),j+ddt(-2t),k =10,i+0,j-2,k
Como não depende de t, em particular
barF''(1)=10,i-2,k

Resposta

limtto1barF(t)=5,i+4,j+2,k
barF é contínua em todo R.
barF'(1)=10,i+3,j-2,k
barF''(1)=10,i-2,k