A afirmação “todas as matrizes diagonais são quadradas” é verdadeira ou falsa? Por que sim ou por que não?

Passo 1

O enunciado pergunta se é verdadeira ou falsa a afirmação “todas as matrizes diagonais são quadradas”. O conteúdo é definição de matriz diagonal e implicações desta definição.

Passo 2

Por definição padrão em álgebra linear, uma matriz A=(a_{ij}) é chamada diagonal se, além de ser quadrada de ordem n, todas as entradas fora da diagonal principal são zero, isto é,
a_{ij}=0\quad\text{sempre que }i\neq j.
A exigência “é quadrada” faz parte da própria definição de matriz diagonal.

Passo 3

Se exigíssemos apenas que a_{ij}=0 para i\neq j sem impor m=n, obteríamos matrizes retangulares com zeros fora da “diagonal” até \min(m,n), mas o conceito canônico de “matriz diagonal” pressupõe ordem quadrada. Logo, não chamamos essas retangulares de diagonais.

Resposta

A afirmação é verdadeira, pois a condição de ser quadrada faz parte da definição de matriz diagonal.

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