Para cada um dos sistemas lineares a seguir, obtenha uma solução, utilizando métodos gráficos, se possivel. Explique os resultados de um ponto de vista geométrico.
a. x_{1}+2 x_{2}=0, x_{1}-x_{2}=0.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear em \mathbb{R}^2\): \[\begin{cases} x_{1} + 2x_{2} = 0,\\\ x_{1} - x_{2} = 0. \end{cases}
O conteúdo aqui é interpretação geométrica de um sistema de duas retas no plano. Vamos escrever cada equação na forma (x_{2}=f(x_{1})] para identificar as retas e depois achar graficamente sua interseção.

Passo 2

Escrevemos cada reta em forma de inclinação (slope-intercept):
Da primeira equação
x_{1} + 2x_{2} = 0
temos
2x_{2} = -\,x_{1}
x_{2} = -\tfrac12\,x_{1}.
Da segunda equação
x_{1} - x_{2} = 0
vem
x_{2} = x_{1}.
Portanto as retas são
L_{1}:\;x_{2} = -\tfrac12\,x_{1}, \quad L_{2}:\;x_{2} = x_{1}.

Passo 3

Graficamente, L_{1} é uma reta que passa pela origem com inclinação -\tfrac12 e L_{2} é outra reta passando pela origem com inclinação 1. Retas de inclinações diferentes sempre se cruzam em um ponto único. Para encontrar esse ponto, basta resolver simultaneamente:
x_{2} = -\tfrac12\,x_{1}, \quad x_{2} = x_{1}.
Igualando as duas expressões para x_{2},
x_{1} = -\tfrac12\,x_{1} \quad\Longrightarrow\quad \frac{3}{2}\,x_{1} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_{1} = 0.
Então x_{2}=x_{1}=0.

Passo 4

Do ponto de vista geométrico, temos duas retas distintas que ambas passam pela origem. Como suas inclinações são diferentes, elas se intersectam exatamente em (0,0). Logo, o sistema tem solução única, que é o ponto de interseção das retas.

Resposta

A solução do sistema é
(x_{1},x_{2}) = (0,0).