calcule os primeiros cinco termos de cada série, e então calcule os cinco primeiros termos da sequência sn de suas somas parciais. Encontre uma fórmula “simples” para n-ésima soma parcial sn em função de n, determine se a série converge ou diverge e, se convergir, encontre sua soma S=lim n +infty sn.
sumk=1^infty k(k+1)

Passo 1

O enunciado pede para a série
sumk=1^inftyk(k+1)
calcular
  1. os cinco primeiros termos ak,
  2. os cinco primeiros valores da soma parcial sn=sumk=1^n ak,
  3. uma fórmula fechada para sn,
  4. verificar convergência e, se convergir, achar
    S=limntoinftysn.

Passo 2

O termo geral é
ak = k(k+1)
Para k=1,2,3,4,5 temos
a1 = 1cdot2 = 2, a2 = 2cdot3 = 6, a3 = 3cdot4 = 12,
a4 = 4cdot5 = 20, a5 = 5cdot6 = 30
As cinco primeiras somas parciais são
s1 = 2, s2 = 2+6 = 8, s3 = 8+12 = 20,
s4 = 20+20 = 40, s5 = 40+30 = 70

Passo 3

Para achar sn de modo geral, note que
sn = sumk=1^n k(k+1) = sumk=1^n k^2 + sumk=1^n k
Usando as fórmulas conhecidas
sumk=1^n k^2 = n(n+1)(2n+1)6, sumk=1^n k = n(n+1)2,
temos
sn = n(n+1)(2n+1)6 + n(n+1)2 = n(n+1)l(2n+1 + 3r)6 = n(n+1)(2n+4)6 = n(n+1)(n+2)3

Passo 4

Para que a série converja, é necessário que sn tenha limite finito quando ntoinfty. Mas
sn = n(n+1)(n+2)3sim 2,n^33vai para +infty
Logo a série diverge.

Resposta

Os cinco primeiros termos são
a1=2,;a2=6,;a3=12,;a4=20,;a5=30
As cinco primeiras somas parciais são
s1=2,;s2=8,;s3=20,;s4=40,;s5=70
A fórmula fechada para a soma parcial é
sn = n(n+1)(n+2)3
Como limntoinftysn=+infty, a série diverge (não há soma finita S).