2-3 Cargas puntuais de 3 \times 10^{-9} \mathrm{C} estão situadas em três vértices de um quadrado de 15 cm de lado. Determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico no vértice vago do quadrado.

Passo 1

O enunciado diz que há três cargas pontuais de valor q=3\times10^{-9}\,\mathrm{C} situadas em três vértices de um quadrado de lado a=15\,\mathrm{cm}, e pede o campo elétrico resultante no vértice vago. O conteúdo usado será a lei de Coulomb e o princípio da superposição de campos.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas em que o vértice vago esteja em (0,0) e os outros vértices em (a,0), (a,a) e (0,a). Denotamos por \vec{r}_i o vetor que vai da carga i ao ponto onde calculamos o campo.
Pela lei de Coulomb, o campo devido a cada carga é dado por
\vec{E}_i = k\,\frac{q}{r_i^2}\,\hat{r}_i,
onde k=8,99\times10^9, \mathrm{N\cdot m^2/C^2}.
Para a carga em (a,0) temos \vec{r}_1=(-a,0) e r_1=a, logo
\vec{E}_1 = k\frac{q}{a^2}\,(-\hat{\imath}).
Analogamente, para a carga em (0,a):
\vec{E}_2 = k\frac{q}{a^2}\,(-\hat{\jmath}).
Para a carga em (a,a) o vetor é \vec{r}_3=(-a,-a) com r_3=a\sqrt{2}, de modo que
\vec{E}_3 = k\frac{q}{(a\sqrt{2})^2}\,\frac{(-\hat{\imath}-\hat{\jmath})}{\sqrt{2}} = -\,k\frac{q}{2\sqrt{2}\,a^2}(\hat{\imath}+\hat{\jmath}).

Passo 3

Somando as componentes horizontais e verticais, temos
E_x = -\,k\frac{q}{a^2}\Bigl(1+\tfrac1{2\sqrt2}\Bigr), \quad E_y = -\,k\frac{q}{a^2}\Bigl(1+\tfrac1{2\sqrt2}\Bigr).
Numericamente, com a=0,15\,\mathrm{m},
k\frac{q}{a^2}\approx\frac{8,99\times10^9\cdot3\times10^{-9}}{(0,15)^2} \approx1,20\times10^3\>\mathrm{N/C}, \quad \tfrac1{2\sqrt2}\approx0,354,
logo
E_x = E_y \approx -1,20\times10^3\,(1+0,354) \approx -1,62\times10^3\>\mathrm{N/C}.
O módulo do campo resultante é
E = \sqrt{E_x^2 + E_y^2} \approx\sqrt{2\,(1,62\times10^3)^2} \approx2,30\times10^3\>\mathrm{N/C}.

Passo 4

Como E_x e E_y são iguais e negativas, o vetor resultante faz um ângulo de \tan^{-1}(1)=45^\circ abaixo do eixo negativo x, ou seja, 225^\circ contado a partir do eixo positivo x. O sentido do campo é para fora do quadrado, ao longo dessa bissetriz do vértice vago.

Resposta

O campo elétrico no vértice vago tem
módulo E\approx2,30\times10^3\>\mathrm{N/C},
direção formando 45^\circ abaixo do eixo negativo x (ângulo de 225^\circ em relação ao eixo positivo x)
e sentido apontando para fora do quadrado.