É dado um circuito de corrente (nāo necessariamente rígido) num campo magnético prescrito. A força magnética em cada elemento de circuito
l é dada por
. Se o circuito puder mover-se sob as influências das forças magnéticas, de modo que um elemento
se desloque e, ao mesmo tempo, a corrente
se mantenha constante, demonstre, por calculo direto, que o trabalho mecânico feito pela força é
, onde
é o fluxo adicional que atravessa o circuito.
Passo 1
O enunciado fala de um circuito percorrido por uma corrente constante
num campo magnético prescrito
. Cada elemento de fio de comprimento
sofre a força
Quando o circuito se desloca sob ação dessas forças, cada ponto do fio sofre um pequeno deslocamento
. Queremos mostrar, por cálculo direto, que o trabalho mecânico total realizado por essas forças é
onde
é o incremento de fluxo magnético através do circuito. Para isso usaremos o conceito de trabalho virtual e uma identidade vetorial envolvendo produto misto.
Passo 2
Escrevemos o trabalho virtual total
como a integral ao longo do contorno:
Como
é constante, sai da integral:
Passo 3
Aplicamos a identidade do produto misto
Assim
Passo 4
Note que o vetor
representa, em módulo e orientação, o elemento de área infinitesimal
varrido pelo deslocamento do fio. Logo, a integral de linha se converte na variação de fluxo magnético:
Substituindo em
obtém-se