É dado um circuito de corrente (nāo necessariamente rígido) num campo magnético prescrito. A força magnética em cada elemento de circuito d l é dada por I d 1 \times \mathrm{B}. Se o circuito puder mover-se sob as influências das forças magnéticas, de modo que um elemento \delta \mathbf{r} se desloque e, ao mesmo tempo, a corrente I se mantenha constante, demonstre, por calculo direto, que o trabalho mecânico feito pela força é j W^{\prime}=\Gamma \delta \Phi, onde \delta \Phi é o fluxo adicional que atravessa o circuito.

Passo 1

O enunciado fala de um circuito percorrido por uma corrente constante I num campo magnético prescrito \mathbf{B}. Cada elemento de fio de comprimento d\mathbf{l} sofre a força
d\mathbf{F} = I\,d\mathbf{l}\times\mathbf{B}.
Quando o circuito se desloca sob ação dessas forças, cada ponto do fio sofre um pequeno deslocamento \delta\mathbf{r}. Queremos mostrar, por cálculo direto, que o trabalho mecânico total realizado por essas forças é
\delta W' = I\,\delta\Phi,
onde \delta\Phi é o incremento de fluxo magnético através do circuito. Para isso usaremos o conceito de trabalho virtual e uma identidade vetorial envolvendo produto misto.

Passo 2

Escrevemos o trabalho virtual total \delta W' como a integral ao longo do contorno:
\delta W' = \oint d\mathbf{F}\cdot\delta\mathbf{r} = \oint \bigl(I\,d\mathbf{l}\times\mathbf{B}\bigr)\cdot\delta\mathbf{r}.
Como I é constante, sai da integral:
\delta W' = I\;\oint \bigl(d\mathbf{l}\times\mathbf{B}\bigr)\cdot\delta\mathbf{r}.

Passo 3

Aplicamos a identidade do produto misto
\bigl(d\mathbf{l}\times\mathbf{B}\bigr)\cdot\delta\mathbf{r} =\mathbf{B}\cdot\bigl(\delta\mathbf{r}\times d\mathbf{l}\bigr).
Assim
\delta W' = I\;\oint \mathbf{B}\cdot\bigl(\delta\mathbf{r}\times d\mathbf{l}\bigr).

Passo 4

Note que o vetor \delta\mathbf{r}\times d\mathbf{l} representa, em módulo e orientação, o elemento de área infinitesimal \delta d\mathbf{S} varrido pelo deslocamento do fio. Logo, a integral de linha se converte na variação de fluxo magnético:
\delta\Phi =\oint \mathbf{B}\cdot\delta d\mathbf{S} =\oint \mathbf{B}\cdot\bigl(\delta\mathbf{r}\times d\mathbf{l}\bigr).
Substituindo em \delta W' obtém-se
\delta W' = I\,\delta\Phi.

Resposta

\displaystyle \delta W' = I\,\delta\Phi