Demonstre que a lei da força, Eq. (8-25), pode ser transformada em
\mathbf{F}_{2}=-\frac{\mu_{0}}{4 \pi} I_{1} I_{2} \dot{f}_{1} \dot{f}_{2} d \mathbf{l}_{2} \cdot d \mathbf{l}_{1} \frac{\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}}{\left|\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\right|^{3}},
que é evidentemente simétrico, pois \mathrm{F}_{2}=-\mathrm{F}_{1}.

Passo 1

O enunciado pede para transformar a lei da força, normalmente escrita como
d\mathbf{F}_{2}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,I_{1}I_{2}\,\frac{d\mathbf{l}_{2}\times\bigl(d\mathbf{l}_{1}\times\mathbf{r}_{12}\bigr)}{\lvert\mathbf{r}_{12}\rvert^{3}},
onde \mathbf{r}_{12}=\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}, na forma simétrica
\mathbf{F}_{2}=-\frac{\mu_{0}}{4 \pi}I_{1}I_{2}\,\dot f_{1}\,\dot f_{2}\,d\mathbf{l}_{2}\cdot d\mathbf{l}_{1}\,\frac{\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}}{\lvert\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\rvert^{3}}.
O conteúdo aqui é usar a identidade do produto vetorial triplo e depois interpretar os parâmetros f_{1},f_{2} de cada fio para chegar à expressão final.

Passo 2

Aplicamos a identidade do produto vetorial triplo
\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) =\mathbf{b}\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) -\mathbf{c}\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})
com \mathbf{a}=d\mathbf{l}_{2}, \mathbf{b}=d\mathbf{l}_{1} e \mathbf{c}=\mathbf{r}_{12}. Assim
d\mathbf{l}_{2}\times\bigl(d\mathbf{l}_{1}\times\mathbf{r}_{12}\bigr) =d\mathbf{l}_{1}\,\bigl(d\mathbf{l}_{2}\cdot\mathbf{r}_{12}\bigr) -\mathbf{r}_{12}\,\bigl(d\mathbf{l}_{2}\cdot d\mathbf{l}_{1}\bigr).

Passo 3

Substituindo na lei inicial obtemos
d\mathbf{F}_{2} =\frac{\mu_{0}}{4\pi}I_{1}I_{2}\, \frac{d\mathbf{l}_{1}\,(d\mathbf{l}_{2}\cdot\mathbf{r}_{12}) -\mathbf{r}_{12}\,(d\mathbf{l}_{2}\cdot d\mathbf{l}_{1})} {\lvert\mathbf{r}_{12}\rvert^{3}}.
O primeiro termo, que é proporcional a d\mathbf{l}_{1}\,(d\mathbf{l}_{2}\cdot\mathbf{r}_{12}), pode ser escrito como diferencial exato ao longo do fio 1 e, integrando sobre um circuito fechado, dá zero. Ficamos então apenas com o segundo termo.

Passo 4

Ficamos com
d\mathbf{F}_{2} =-\frac{\mu_{0}}{4\pi}I_{1}I_{2}\, \frac{\mathbf{r}_{12}\,(d\mathbf{l}_{2}\cdot d\mathbf{l}_{1})} {\lvert\mathbf{r}_{12}\rvert^{3}}.
Para parametrizar cada elemento de fio usamos funções \mathbf{r}_{1}(f_{1}), \mathbf{r}_{2}(f_{2}) de modo que
d\mathbf{l}_{1}=\dot f_{1}\,df_{1},\quad d\mathbf{l}_{2}=\dot f_{2}\,df_{2},
e então o produto escalar fica
d\mathbf{l}_{2}\cdot d\mathbf{l}_{1} =\dot f_{2}\,\dot f_{1}\,df_{2}\,df_{1}.

Passo 5

Reagrupando os escalares e passando ao resultado final por elemento, escrevemos
d\mathbf{F}_{2} =-\frac{\mu_{0}}{4\pi}I_{1}I_{2}\, \dot f_{1}\,\dot f_{2}\, df_{1}\,df_{2}\, \frac{\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}} {\lvert\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\rvert^{3}},
o que é justamente a forma desejada, e fica claro que trocando 1\leftrightarrow2 muda o sinal, ou seja \mathbf{F}_{2}=-\mathbf{F}_{1}.

Resposta

\mathbf{F}_{2} =-\frac{\mu_{0}}{4 \pi}I_{1}I_{2}\,\dot f_{1}\,\dot f_{2}\, d\mathbf{l}_{2}\cdot d\mathbf{l}_{1}\, \frac{\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}} {\lvert\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\rvert^{3}},
o que é simétrico e satisfaz \mathbf{F}_{2}=-\mathbf{F}_{1}.