Demonstre que a lei da força, Eq. (8-25), pode ser transformada em
que é evidentemente simétrico, pois
.
Passo 1
O enunciado pede para transformar a lei da força, normalmente escrita como
onde
, na forma simétrica
O conteúdo aqui é usar a identidade do produto vetorial triplo e depois interpretar os parâmetros
de cada fio para chegar à expressão final.
Passo 2
Aplicamos a identidade do produto vetorial triplo
com
,
e
. Assim
Passo 3
Substituindo na lei inicial obtemos
O primeiro termo, que é proporcional a
, pode ser escrito como diferencial exato ao longo do fio 1 e, integrando sobre um circuito fechado, dá zero. Ficamos então apenas com o segundo termo.
Passo 4
Ficamos com
Para parametrizar cada elemento de fio usamos funções
,
de modo que
e então o produto escalar fica
Passo 5
Reagrupando os escalares e passando ao resultado final por elemento, escrevemos
o que é justamente a forma desejada, e fica claro que trocando
muda o sinal, ou seja
.
Resposta
o que é simétrico e satisfaz
.