Determine qual(is) das matrizes a seguir são (i) simétrica, (ii) singular, (iii) estritamente diagonal dominante, (iv) definida positiva.
\left[
\right]
\left[
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede para verificar quatro propriedades: (i) simetria, (ii) singularidade, (iii) estrita dominância diagonal e (iv) positividade definida. Vamos usar a definição de cada uma.]
Passo 2
Para ser simétrica basta que
. Aqui temos
e
, logo
Passo 3
Para testar se
é singular calculamos o determinante.
Como o determinante não é zero,
não é singular (é invertível).
Passo 4
Uma matriz é estritamente diagonal dominante se, em cada linha
,
Aqui:
– Linha 1: e
, e
.
– Linha 2: e
, e
.
Logo, é estritamente diagonal dominante.
– Linha 1:
– Linha 2:
Logo,
Passo 5
Para matrizes simétricas
, basta checar que os menores principais são positivos:
– Menor principal de ordem 1: .
– Determinante: .
Portanto, é definida positiva.
– Menor principal de ordem 1:
– Determinante:
Portanto,
Resposta
(i) simétrica: sim
(ii) singular: não
(iii) estritamente diagonal dominante: sim
(iv) definida positiva: sim
(ii) singular: não
(iii) estritamente diagonal dominante: sim
(iv) definida positiva: sim