Determine qual(is) das matrizes a seguir são (i) simétrica, (ii) singular, (iii) estritamente diagonal dominante, (iv) definida positiva.
\left[ \begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}2 & 1\\[6pt]1 & 3\end{pmatrix}
e pede para verificar quatro propriedades: (i) simetria, (ii) singularidade, (iii) estrita dominância diagonal e (iv) positividade definida. Vamos usar a definição de cada uma.]

Passo 2

Para ser simétrica basta que A_{12}=A_{21}. Aqui temos A_{12}=1 e A_{21}=1, logo A\text{ é simétrica.}éé

Passo 3

Para testar se A é singular calculamos o determinante.
\det(A)=2\cdot3 - 1\cdot1 =6 -1 =5\neq0.
Como o determinante não é zero, A não é singular (é invertível).

Passo 4

Uma matriz é estritamente diagonal dominante se, em cada linha i,
|A_{ii}| > \sum_{j\neq i}|A_{ij}|.
Aqui:
– Linha 1: |A_{11}|=2 e \sum_{j\neq1}|A_{1j}|=|1|=1, e 2>1.
– Linha 2: |A_{22}|=3 e \sum_{j\neq2}|A_{2j}|=|1|=1, e 3>1.
Logo, A é estritamente diagonal dominante.

Passo 5

Para matrizes simétricas 2\times2, basta checar que os menores principais são positivos:
– Menor principal de ordem 1: 2>0.
– Determinante: \det(A)=5>0.
Portanto, A é definida positiva.

Resposta

(i) simétrica: sim
(ii) singular: não
(iii) estritamente diagonal dominante: sim
(iv) definida positiva: sim