determine se a série dada converge ou diverge. Use o teste de Leibniz para séries alternadas para estabelecer a convergência sempre que este se aplicar.
sumk=1^infty (-1)^k+1k^2

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumk=1^infty (-1)^k+1k^2
converge ou diverge. O conteúdo envolvido é o teste de Leibniz para séries alternadas e, em seguida, um teste de convergência absoluta (série p-série).

Passo 2

Verificamos que a série é alternada porque o termo geral pode ser escrito como
ak = (-1)^k+1k^2
onde os sinais se alternam: positivo em k ímpar e negativo em k par.

Passo 3

Definimos bk = 1k^2. Note que bk>0 para todo k,
bk+1 = 1(k+1)^2 < 1k^2 = bk,
ou seja, (bk) é decrescente, e
limktoinfty bk = limktoinfty1k^2 = 0

Passo 4

Pelas condições do teste de Leibniz (série alternada com bk decrescente e lim bk=0), concluímos que
sumk=1^infty (-1)^k+1k^2
converge.

Passo 5

Para verificar convergência absoluta, analisamos
sumk=1^infty l|akr| = sumk=1^infty 1k^2
Esta é uma série p-série com p=2>1, logo converge. Portanto a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente (e, portanto, converge).