2.7 Duas cargas puntiformes, -q e +\frac{1}{2} q, estão situadas na origem e no ponto ( a, 0,0 ), respectivamente. Em que ponto, ao longo do eixo x, o campo clétrico se anula? Faça, no plano x, y, um gráfico da superfície eqüipetencial que passa através do ponto acima referido. É este ponto um verdadeiro mínimo de potencial?

Passo 1

O enunciado trata de eletrostática de cargas pontuais. Temos duas cargas no eixo x: -q em (0,0,0) e +\tfrac12q em (a,0,0).
a) Determinar o ponto sobre o eixo x onde o campo elétrico resultante anula-se.
b) No plano xy, traçar qualitativamente a curva equipotencial que passa por esse ponto.
c) Verificar se esse ponto é um verdadeiro mínimo de potencial.

Passo 2

Escrevemos o campo elétrico resultante ao longo de um ponto genérico x no eixo x. Para uma carga -q na origem o campo é
E_1(x) = k\,\frac{-q}{x^2}\quad(\text{direção de atração ao zero}),çãçã
e para a carga +\tfrac12q em x=a é
E_2(x) = k\,\frac{+\tfrac12q}{(x-a)^2}\quad(\text{direção de repulsão de }x=a).çãã
O campo total é
E(x) = E_1(x)+E_2(x) = -k\,\frac{q}{x^2} \;+\; k\,\frac{\tfrac12q}{(x-a)^2}.
Igualamos E(x)=0 para achar o ponto de equilíbrio.

Passo 3

Da condição
-k\,\frac{q}{x^2} \;+\; k\,\frac{\tfrac12q}{(x-a)^2}=0
vem
\frac{1}{2\,(x-a)^2}=\frac{1}{x^2} \quad\Longrightarrow\quad x^2=2\,(x-a)^2.
Tomando a solução que atende x>a (única física, pois só aí os termos do campo têm sentidos opostos), escrevemos
x = \sqrt2\,(x - a) \;\Longrightarrow\; x\,(1-\sqrt2) = -\,\sqrt2\,a \;\Longrightarrow\; x = \frac{\sqrt2}{\sqrt2-1}\,a = (2+\sqrt2)\,a.

Passo 4

O potencial escalar no plano xy gerado pelas duas cargas é
V(x,y) = k\Bigl[-\frac{q}{\sqrt{x^2+y^2}} \;+\;\frac{\tfrac12q}{\sqrt{(x-a)^2+y^2}}\Bigr].
Chamando x_0=(2+\sqrt2)a e definindo
V_0 = V(x_0,0) = kq\Bigl[-\tfrac{1}{x_0}+\tfrac12\;\frac{1}{x_0-a}\Bigr],
a equipotencial desejada satisfaz
-\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} +\frac{1}{2\,\sqrt{(x-a)^2+y^2}} =\,-\frac{1}{x_0}+\frac{1}{2\,(x_0-a)}.

Passo 5

Esboço qualitativo da curva equipotencial no plano xy:
  • É uma curva fechada, simétrica em relação ao eixo x.
  • Corta o eixo x em (x_0,0).
  • Envolve as duas cargas de modo que o valor de V é constante ao longo da curva.
Visualmente, fica um “ovalo” alongado no sentido do eixo x, atravessando o ponto (2+\sqrt{2})a,0.

Passo 6

Para saber se (x_0,0) é mínimo de V, examinamos a natureza do ponto crítico. O fato de \nabla V=0 em (x_0,0) garante um extremante, mas o teste do Hessiano revela sinais opostos nas direções x e y. Em particular,
\frac{\partial^2 V}{\partial y^2}\Big|_{(x_0,0)}<0,
mostrando que, ao variar em y, V decresce localmente. Logo não é mínimo verdadeiro, mas sim ponto de sela.

Resposta

a) O campo se anula em
x=(2+\sqrt2)\,a.
b) A equipotencial de valor V_0 é a curva fechada e simétrica que passa por (2+\sqrt2)a,0 no plano xy, dada implicitamente por
-\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} +\frac{1}{2\,\sqrt{(x-a)^2+y^2}} =\,-\frac{1}{(2+\sqrt2)a}+\frac{1}{2\bigl((2+\sqrt2)a-a\bigr)}.
c) Esse ponto é um ponto de sela de V, não um mínimo verdadeiro.