2.7 Duas cargas puntiformes, -q e +\frac{1}{2} q, estão situadas na origem e no ponto ( a, 0,0 ), respectivamente. Em que ponto, ao longo do eixo x, o campo clétrico se anula? Faça, no plano x, y, um gráfico da superfície eqüipetencial que passa através do ponto acima referido. É este ponto um verdadeiro mínimo de potencial?
Passo 1
O enunciado trata de eletrostática de cargas pontuais. Temos duas cargas no eixo x: -q em (0,0,0) e +\tfrac12q em (a,0,0).
a) Determinar o ponto sobre o eixo x onde o campo elétrico resultante anula-se.
b) No plano xy, traçar qualitativamente a curva equipotencial que passa por esse ponto.
c) Verificar se esse ponto é um verdadeiro mínimo de potencial.
Passo 2
Escrevemos o campo elétrico resultante ao longo de um ponto genérico x no eixo x. Para uma carga -q na origem o campo é
E_1(x) = k\,\frac{-q}{x^2}\quad(\text{direção de atração ao zero}),
e para a carga +\tfrac12q em x=a é
E_2(x) = k\,\frac{+\tfrac12q}{(x-a)^2}\quad(\text{direção de repulsão de }x=a).
Esboço qualitativo da curva equipotencial no plano xy:
É uma curva fechada, simétrica em relação ao eixo x.
Corta o eixo x em (x_0,0).
Envolve as duas cargas de modo que o valor de V é constante ao longo da curva.
Visualmente, fica um “ovalo” alongado no sentido do eixo x, atravessando o ponto (2+\sqrt{2})a,0.
Passo 6
Para saber se (x_0,0) é mínimo de V, examinamos a natureza do ponto crítico. O fato de \nabla V=0 em (x_0,0) garante um extremante, mas o teste do Hessiano revela sinais opostos nas direções x e y. Em particular,
c) Esse ponto é um ponto de sela de V, não um mínimo verdadeiro.
Cálculo Numérico - John R. Reitz, Frederick J. Milford, Robert W. Christy - Fundamentos da Teoria Eletromagnética - 3ª Edição - Capítulo 2.Problemas - Ex. 2.7