Encontre os autovalores e os autovetores associados das seguintes matrizes 3 \times 3. Existe um conjunto de autovetores linearmente independente?
A=\left[\begin{array}{rrr}2 & -3 & 6 \\\\ 0 & 3 & -4 \\\\ 0 & 2 & -3\end{array}\right]

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 6 \\\\ 0 & 3 & -4 \\\\ 0 & 2 & -3 \end{pmatrix}
e queremos encontrar seus autovalores e os autovetores associados. Para isso, vamos calcular o polinômio característico \det(A - \lambda I) e depois resolver (A - \lambda I)v = 0 para cada raiz \lambda.

Passo 2

Calculamos o determinante
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 2-\lambda & -3 & 6 \\\\ 0 & 3-\lambda & -4 \\\\ 0 & 2 & -3-\lambda \end{pmatrix}.
Como essa matriz é triangular por blocos,
\det(A - \lambda I) = (2-\lambda)\,\det\begin{pmatrix} 3-\lambda & -4 \\\\ 2 & -3-\lambda \end{pmatrix}.
E
\det\begin{pmatrix} 3-\lambda & -4 \\\\ 2 & -3-\lambda \end{pmatrix} = (3-\lambda)(-3-\lambda) - (-4)\cdot 2 = -\bigl(9 - \lambda^2\bigr) + 8 = \lambda^2 - 1.
Logo,
\det(A - \lambda I) = (2-\lambda)\,(\lambda^2 - 1) = -( \lambda - 2 )(\lambda - 1)(\lambda + 1).
Os autovalores são as raízes desta expressão, isto é,
\lambda_1 = 2,\quad \lambda_2 = 1,\quad \lambda_3 = -1.

Passo 3

Para \lambda = 2, resolvemos (A - 2I)v = 0.
A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & -3 & 6 \\\\ 0 & 1 & -4 \\\\ 0 & 2 & -5 \end{pmatrix}.
As equações são
-3y + 6z = 0,\quad y - 4z = 0,\quad 2y - 5z = 0.
Das duas primeiras temos y = 2z e y=4z, que só coincidem se z=0, logo y=0. A componente x é livre. Um vetor próprio não nulo é
v^{(1)} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 4

Para \lambda = 1, resolvemos (A - I)v = 0.
A - I = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 6 \\\\ 0 & 2 & -4 \\\\ 0 & 2 & -4 \end{pmatrix}.
As equações são
x - 3y + 6z = 0,\quad 2y - 4z = 0.
Da segunda vem y=2z. Substituindo na primeira: x -3(2z) +6z = x = 0. Assim
v^{(2)} = \begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}
é um autovetor associado a \lambda=1.

Passo 5

Para \lambda = -1, resolvemos (A + I)v = 0.
A + I = \begin{pmatrix} 3 & -3 & 6 \\\\ 0 & 4 & -4 \\\\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}.
As equações são
3x - 3y + 6z = 0,\quad 4y - 4z = 0.
Da segunda vem y = z. Substituindo na primeira: 3x -3z +6z = 3x +3z = 0, logo x = -z. Um autovetor é
v^{(3)} = \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 6

Como os três autovalores são distintos, os autovetores v^{(1)},v^{(2)},v^{(3)} são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^3.

Resposta

Os autovalores são \lambda_1=2, \lambda_2=1 e \lambda_3=-1.
Autovetores correspondentes: \displaystyle v^{(1)}=(1,0,0)^\mathsf{T}, \displaystyle v^{(2)}=(0,2,1)^\mathsf{T}, \displaystyle v^{(3)}=(-1,1,1)^\mathsf{T}.
Existe, sim, um conjunto de três autovetores linearmente independentes.