identifique a interseção de cada superfície quádrica com o plano indicado
z{2}-\frac{y{2}}{9}-\frac{x^{2}}{16}=1 ; y=2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a curva obtida ao intersectar a superfície quadriculada
z^2 - y^29 - x^216 = 1
com o plano y = 2. Vamos usar a ideia de que, para intersectar, basta substituir y pelo valor dado e analisar a equação resultante em x e z.

Passo 2

Antes de tudo, note que a superfície
z^2 - y^29 - x^216 = 1
é um hiperbolóide de duas folhas (porque o termo positivo é z^2 e há dois termos subtraídos). Ao fixar y, espera-se obter uma cônica. Vamos descobrir qual.

Passo 3

Substituindo y=2 na equação da superfície, temos
z^2 - (2)^29 - x^216 ;=; 1
ou seja,
z^2 - 49 - x^216 = 1

Passo 4

Isolando z^2 e x^2, somamos tfrac49 em ambos os lados:
z^2 - x^216 = 1 + 49 = 139
Como os coeficientes de z^2 e de x^2 têm sinais opostos, isso confirma ser uma hipérbole no plano y=2.

Resposta

A interseção é a hipérbole, em y=2, dada por
z^2 - x^216 = 139