9-1 Um ímã permanente tem a forma de um cilindro reto, circular, de comprimento L. Se a magnetização M for uniforme e tiver a direção do eixo do cilindro, encontre as densidades de corrente de magnetização, J_{M} e j_{M}. Compare a distribuição de corrente com a de um solenóide.

Passo 1

O enunciado trata de um ímã cilíndrico de comprimento L com magnetização uniforme \mathbf{M} apontando ao longo do eixo do cilindro (direção \hat z). Precisamos determinar as correntes ligadas (ou de magnetização) definidas por
\mathbf{J}_M = \nabla \times \mathbf{M}, \qquad \mathbf{j}_M = \mathbf{M}\times\hat{n},
onde \hat{n} é o vetor normal à superfície do ímã.

Passo 2

Como \mathbf{M} é uniforme e paralelo a \hat z, escrevemos
\mathbf{M} = M\,\hat z,
com M constante. Logo
\mathbf{J}_M = \nabla \times (M\,\hat z) = \mathbf{0},
pois o rotacional de um campo constante é nulo.

Passo 3

A corrente de superfície é
\mathbf{j}_M = \mathbf{M}\times\hat{n}.
– Na face lateral do cilindro, \hat{n}=\hat r, então
\mathbf{j}_M = M\,\hat z\times\hat r = M\,\hat\varphi.
– Nas tampas circulares, \hat{n}=\pm\hat z, portanto
\mathbf{j}_M = M\,\hat z\times(\pm\hat z)=\mathbf{0}.

Passo 4

Comparando com um solenóide ideal, vemos que a única corrente de magnetização é uma corrente de superfície uniforme na direção azimutal ( \hat\varphi), exatamente como as espiras de um solenóide enroladas na casca do cilindro. A densidade de corrente equivalente é K=M (por unidade de comprimento de corrente superficial), de modo análogo à corrente de enrolamento K=nI de um solenóide com n espiras por unidade de comprimento.

Resposta

\displaystyle \mathbf{J}_M=\mathbf{0}.
\displaystyle \mathbf{j}_M=M\,\hat\varphi na superfície lateral do cilindro e zero nas tampas.
A distribuição de corrente é idêntica à de um solenóide ideal, com corrente superficial uniforme ao redor do cilindro.