Nos problemas de 1 a 12 (a) calcule
, (b) calcule
, (c) calcule
, (d) calcule
, e (e) verifique que
.
Passo 1
O enunciado pede para a função
calcular (a)
, (b)
, (c)
, (d)
e (e) verificar que as derivadas mistas são iguais. Vamos usar as regras de derivação parcial, tratando uma variável como constante ao derivar em relação à outra.
Passo 2
Primeiro encontramos a derivada parcial de primeira ordem em relação a
. Ao derivar
em relação a
,
é constante, logo
Passo 3
Agora derivamos
novamente em relação a
para obter
. Neste caso
é tratado como constante, então
Passo 4
Em seguida, calculamos a derivada parcial de primeira ordem em relação a
. Aqui
é constante e
Passo 5
Derivamos
em relação a
para obter
. Tratando
como constante,
Passo 6
Agora calculamos a derivada mista
, ou seja, derivamos
em relação a
. Aqui
é constante, logo
Passo 7
Para
derivamos
em relação a
. Agora
é constante, então
Passo 8
Comparando as derivadas mistas obtidas, vemos que
confirmando que as derivadas mistas são iguais.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) As derivadas mistas coincidem: .
(b)
(c)
(d)
(e) As derivadas mistas coincidem: