Nos problemas de 1 a 12 (a) calcule partial^2 fpartial x^2 , (b) calcule partial^2 fpartial y^2 , (c) calcule
partial fpartial y partial x , (d) calcule partial^2 fpartial x partial y , e (e) verifique que partial^2 fpartial y partial x=partial^2 fpartial x partial y .
f(x, y)=6 x^2+7 x y+5 y^2

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x,y)=6x^2+7xy+5y^2
calcular (a) partial^2fpartial x^2, (b) partial^2fpartial y^2, (c) partial fpartial ypartial x, (d) partial^2fpartial xpartial y e (e) verificar que as derivadas mistas são iguais. Vamos usar as regras de derivação parcial, tratando uma variável como constante ao derivar em relação à outra.

Passo 2

Primeiro encontramos a derivada parcial de primeira ordem em relação a x. Ao derivar
f(x,y)=6x^2+7xy+5y^2
em relação a x, y é constante, logo
partial fpartial x = partialpartial x(6x^2) + partialpartial x(7xy) + partialpartial x(5y^2) = 12x + 7y + 0 =12x+7y

Passo 3

Agora derivamos partial fpartial x=12x+7y novamente em relação a x para obter partial^2fpartial x^2. Neste caso y é tratado como constante, então
partial^2fpartial x^2 = partialpartial x(12x+7y) =12

Passo 4

Em seguida, calculamos a derivada parcial de primeira ordem em relação a y. Aqui x é constante e
partial fpartial y = partialpartial y(6x^2) + partialpartial y(7xy) + partialpartial y(5y^2) = 0 + 7x + 10y =7x+10y

Passo 5

Derivamos partial fpartial y=7x+10y em relação a y para obter partial^2fpartial y^2. Tratando x como constante,
partial^2fpartial y^2 = partialpartial y(7x+10y) =10

Passo 6

Agora calculamos a derivada mista partial fpartial ypartial x, ou seja, derivamos partial fpartial x=12x+7y em relação a y. Aqui x é constante, logo
partialpartial y(12x+7y) =7

Passo 7

Para partial^2fpartial xpartial y derivamos partial fpartial y=7x+10y em relação a x. Agora y é constante, então
partialpartial x(7x+10y) =7

Passo 8

Comparando as derivadas mistas obtidas, vemos que
partial fpartial ypartial x =7 e partial^2fpartial xpartial y =7,
confirmando que as derivadas mistas são iguais.

Resposta

(a) partial^2fpartial x^2=12
(b) partial^2fpartial y^2=10
(c) partial fpartial ypartial x=7
(d) partial^2fpartial xpartial y=7
(e) As derivadas mistas coincidem: partial fpartial ypartial x=partial^2fpartial xpartial y.