Nos problemas 9 a 12, converta para coordenadas cilíndricas e calcule a integral.
(9 \iiint_{S} \sqrt{x{2}+y{2}} d x d y d z), onde é o sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados, pelo plano e pelo cilindro .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
sendo o sólido no primeiro octante (, , ) limitado por e pelo cilindro . O conteúdo é mudança para coordenadas cilíndricas, usando o Jacobiano adequado.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas fazemos
com Jacobiano . No primeiro octante temos
Passo 3
Observe que . Assim o integrando junto ao Jacobiano vira . A integral transforma-se em
Passo 4
Integramos primeiro em , sabendo que é constante em relação a :
Então a integral reduz-se a
Agora integramos em :
Passo 5
Por fim integramos em theta, que é trivial:
integral0^pi/25003,dtheta = 5003cdot pi2 = 250pi3
Resposta
250pi3
Cálculo Numérico - Análise numérica - burden - 10ª Edição - Capítulo 17.Conjunto de Problemas 7 - Ex. 9