Nos problemas 9 a 12, converta para coordenadas cilíndricas e calcule a integral.
(9 \iiint_{S} \sqrt{x{2}+y{2}} d x d y d z), onde S é o sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados, pelo plano z=4 e pelo cilindro x^2+y^2=25.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral triplaS raizx^2+y^2;dx,dy,dz
sendo S o sólido no primeiro octante ( x>=0, y>=0, z>=0) limitado por z=4 e pelo cilindro x^2+y^2=25. O conteúdo é mudança para coordenadas cilíndricas, usando o Jacobiano adequado.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z,
com Jacobiano ,r,dr,dtheta,dz. No primeiro octante temos
0 <= theta <= tfracpi2, 0 <= r <= 5, 0 <= z <= 4

Passo 3

Observe que raizx^2+y^2 = r. Assim o integrando raizx^2+y^2 junto ao Jacobiano vira rcdot r = r^2. A integral transforma-se em
integraltheta=0^pi/2!!integralr=0^5!!integralz=0^4 r^2;dz,dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em z, sabendo que r^2 é constante em relação a z:
integralz=0^4 r^2,dz = 4,r^2
Então a integral reduz-se a
integral0^pi/2!!integral0^54,r^2;dr,dtheta
Agora integramos em r:
integral0^54,r^2,dr = 4cdot r^33|0^5 = 4cdot 1253 = 5003

Passo 5

Por fim integramos em theta, que é trivial:
integral0^pi/25003,dtheta = 5003cdot pi2 = 250pi3

Resposta

250pi3