Nos problemas de 1 a 4, encontre (a) o gradiente \nabla z de cada campo escalar, (b) o valor de \nabla z no ponto
(x_{0}, y_{0}), e (c) a derivada direcional D_{\bar{u}} z em
(x_{0}, y_{0}) na direção do vetor unitário \bar{u}.
z=7 x-3 y+4,(x_{0}, y_{0})=(1,1), \bar{u}=\frac{\sqrt{3}}{2} i+\frac{1}{2} j.

Passo 1

O enunciado dá o campo escalar z=7x-3y+4 e pede:
(a) o gradiente nabla z,
(b) o valor de nabla z no ponto (x0,y0)=(1,1),
(c) a derivada direcional Dbar uz em (1,1) na direção do vetor unitário bar u=raiz32i+12j.
Para resolver usamos que
  • o gradiente é nabla z=(partial z/partial x,partial z/partial y),
  • a derivada direcional é Dbar uz=nabla zcdotbar u.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de z:
partial zpartial x=7, partial zpartial y=-3
Logo o gradiente é
nabla z = (7,,-3)

Passo 3

Como nabla z não depende de x nem de y, seu valor em (1,1) é o mesmo:
nabla z(1,1) = (7,,-3)

Passo 4

A derivada direcional em (1,1) na direção bar u é
Dbar uz(1,1) = nabla z(1,1)cdotbar u = (7,,-3)cdotl(tfracraiz32,,tfrac12r) = 7cdottfracraiz32 ;+; (-3)cdottfrac12 = 7raiz3-32

Resposta

(a) nabla z=(7,,-3)
(b) nabla z(1,1)=(7,,-3)
(c) Dbar uz(1,1)=tfrac7raiz3-32