Nos problemas de 1 a 4, encontre (a) o gradiente \nabla z de cada campo escalar, (b) o valor de \nabla z no ponto
(x_{0}, y_{0}), e (c) a derivada direcional D_{\bar{u}} z em
(x_{0}, y_{0}) na direção do vetor unitário \bar{u}.
z=7 x-3 y+4,(x_{0}, y_{0})=(1,1), \bar{u}=\frac{\sqrt{3}}{2} i+\frac{1}{2} j.
z=7 x-3 y+4,(x_{0}, y_{0})=(1,1), \bar{u}=\frac{\sqrt{3}}{2} i+\frac{1}{2} j.
Passo 1
O enunciado dá o campo escalar
e pede:
(a) o gradiente ,
(b) o valor de no ponto
,
(c) a derivada direcional em
na direção do vetor unitário
.
Para resolver usamos que
(a) o gradiente
(b) o valor de
(c) a derivada direcional
Para resolver usamos que
- o gradiente é
, - a derivada direcional é
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Logo o gradiente é
Passo 3
Como
não depende de
nem de
, seu valor em
é o mesmo:
Passo 4
A derivada direcional em
na direção
é
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)