Nos problemas de 1 a 4, encontre (a) o gradiente \nabla z de cada campo escalar, (b) o valor de \nabla z no ponto
(x_{0}, y_{0}), e (c) a derivada direcional D_{\bar{u}} z em
(x_{0}, y_{0}) na direção do vetor unitário \bar{u}.
z=x y,(x_{0}, y_{0})=(2,-1), \bar{u}=\frac{\sqrt{2}}{2} i+\frac{\sqrt{2}}{2} j.

Passo 1

O enunciado pede para o campo escalar z=x,y:
a) calcular o gradiente nabla z,
b) avaliar nabla z no ponto (x0,y0)=(2,-1),
c) calcular a derivada direcional de z nesse ponto na direção do vetor unitário baru=(tfracraiz22,tfracraiz22).
Vamos usar a definição de gradiente como vetor de derivadas parciais e depois o produto escalar para a derivada direcional.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de z=x,y:
partial zpartial x=y, partial zpartial y=x
Portanto o gradiente é
nabla z = l(tfracpartial zpartial x,,tfracpartial zpartial yr) = (y,,x)

Passo 3

Agora avaliamos nabla z em (x0,y0)=(2,-1):
nabla z(2,-1) = l(yl|(2,-1),,xl|(2,-1)r) = (-1,,2)

Passo 4

A derivada direcional de z na direção baru é o produto escalar de nabla z(2,-1) por baru:
Dbaruz(2,-1) = nabla z(2,-1)cdot baru = (-1,2)cdotl(tfracraiz22,tfracraiz22r) = -1cdottfracraiz22+2cdottfracraiz22 = tfrac-raiz2+2raiz22 = tfracraiz22

Resposta

(a) nabla z=(y,,x)
(b) nabla z(2,-1)=(-1,,2)
(c) Dbaruz(2,-1)=tfracraiz22