Nos problemas de 1 a 4, encontre (a) o gradiente \nabla z de cada campo escalar, (b) o valor de \nabla z no ponto
(x_{0}, y_{0}), e (c) a derivada direcional D_{\bar{u}} z em
(x_{0}, y_{0}) na direção do vetor unitário \bar{u}.
z=x y,(x_{0}, y_{0})=(2,-1), \bar{u}=\frac{\sqrt{2}}{2} i+\frac{\sqrt{2}}{2} j.
Passo 1
O enunciado pede para o campo escalar :
a) calcular o gradiente ,
b) avaliar no ponto ,
c) calcular a derivada direcional de nesse ponto na direção do vetor unitário .
Vamos usar a definição de gradiente como vetor de derivadas parciais e depois o produto escalar para a derivada direcional.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de :
Portanto o gradiente é
Passo 3
Agora avaliamos em :
Passo 4
A derivada direcional de z na direção baru é o produto escalar de nabla z(2,-1) por baru: