32.14 Resolva a equação de condução de calor transiente adimensional em duas dimensões que representa a distribuição de temperaturas transiente em uma placa isolada. A equação é
onde é a temperatura, e são as coordenadas espaciais e é o tempo. As condições de contorno e iniciais são
Condições de contorno
Condições iniciais
Resolva usando a técnica implícita de direções alternadas. Trace os resultados usando uma rotina tridimensional de gráficos em que o plano horizontal contenha os eixos e e o eixo é a variável independente . Construa diversos gráficos em diversos instantes de tempo, incluindo o seguinte: (a) as condições iniciais; (b) um instante intermediário, aproximadamente na metade do caminho para o estado estacionário e (c) a condição estacionária.

Passo 1

O problema é resolver a equação do calor bidimensional sem fonte, em forma adimensional,
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 ;=; partial upartial t,
no quadrado [0,1]times[0,1], com condições de contorno
u(x,0,t)=0, u(x,1,t)=1, u(0,y,t)=0, u(1,y,t)=1
e condição inicial
u(x,y,0)=0para 0<= x,y<=1
O método pedido é a técnica implícita de direções alternadas (ADI), eficiente e não só condicionada pela CFL de esquemas totalmente explícitos.

Passo 2

Discretizamos o domínio em uma malha uniforme com passo espacial h em x e y e passo temporal De<a t. Definimos
xi = i,h,;yj=j,h,;t^n=n,De<a t, i,j=0,dots,N,;n=0,1,2,dots
e escrevemos ui,j^napprox u(xi,yj,t^n). Denotamos o número de Fourier lambda=De<a t/(2h^2). O método ADI faz duas metades de passo:
1. Meio passo “ x implícito, y explícito” para obter uma solução intermédia u^*.
2. Meio passo “ y implícito, x explícito” para obter u^n+1.

Passo 3

Meio–passo 1 (para cada j fixo, solve-se um sistema tridiagonal em i):
-ui-1,j^* + (1+2lambda),ui,j^* - ui+1,j^* = ;ui,j^n + lambdal(ui,j-1^n -2ui,j^n + ui,j+1^nr),
com u0,j^*=0 e uN,j^*=1.
Meio–passo 2 (para cada i fixo, sistema tridiagonal em j):
-ui,j-1^n+1 + (1+2lambda),ui,j^n+1 - ui,j+1^n+1 = ;ui,j^* + lambdal(ui-1,j^* -2ui,j^* + ui+1,j^*r),
com ui,0^n+1=0 e ui,N^n+1=1.

Passo 4

Algoritmo geral:
1. Inicializar u^0i,j=0 e impor as fronteiras.
2. Para n=0,1,2,dots até t^n atingir o tempo desejado:
a) para cada linha j=1,dots,N-1, montar e resolver o tridiagonal para u^*i,j (meio–passo 1).
b) para cada coluna i=1,dots,N-1, montar e resolver o tridiagonal para u^n+1i,j (meio–passo 2).
c) aplicar as condições de contorno em u^n+1.
3. Armazenar u^n+1 para plotar.
Para resolver os sistemas tridiagonais use o algoritmo de Thomas (direto, custo O(N) por sistema).

Passo 5

Implementação em, por exemplo, Python NumPy Matplotlib (módulo mplot d):
  • Monte vetores e crie a malha com np.meshgrid.
  • Para cada instante de interesse guarde a matriz .
  • Use
    from \(mpl_toolkits\).mplot\(3\)d import Axes\(3\)D
    fig \(=\) plt.figure()
    ax \(=\) fig.\(add_subplot\)(\(111\),projection\(=\)'\(3\)d')
    ax.\(plot_surface\)(X,Y,\(u_slice\), cmap\(=\)'viridis')
    
    para desenhar em D.

Passo 6

Resultados esperados:
(a) Em t=0, a superfície é plana em u=0.
(b) Em um tempo intermediário (metade do caminho para o regime estacionário), observa-se uma região próxima às bordas superiores e direitas elevando-se em direção a u=1, enquanto o centro ainda está perto de zero.
(c) No regime estacionário (após tempo “grande”), a solução numérica converge para aquela que satisfaz nabla^2u=0 com as mesmas condições de contorno, ou seja, uma superfície lisa que sobe de 0 no canto inferior-esquerdo até 1 no canto superior-direito.

Resposta

Implementando o método ADI conforme acima e plotando com uma rotina 3D, obtemos:
(a) a condição inicial, um plano u(x,y,0)=0.
(b) em tapprox trm meio, uma superfície curvada subindo das bordas com uin[0,1].
(c) no regime estacionário, a distribuição de temperatura solução de Laplace com as fronteiras zeradas no eixo x=0,,y=0 e unitárias em x=1,,y=1.

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