32.14 Resolva a equação de condução de calor transiente adimensional em duas dimensões que representa a distribuição de temperaturas transiente em uma placa isolada. A equação é
onde
é a temperatura,
e
são as coordenadas espaciais e
é o tempo. As condições de contorno e iniciais são
Condições de contorno
Condições iniciais
Resolva usando a técnica implícita de direções alternadas. Trace os resultados usando uma rotina tridimensional de gráficos em que o plano horizontal contenha os eixos
e
e o eixo
é a variável independente
. Construa diversos gráficos em diversos instantes de tempo, incluindo o seguinte: (a) as condições iniciais; (b) um instante intermediário, aproximadamente na metade do caminho para o estado estacionário e (c) a condição estacionária.
Condições de contorno
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Condições iniciais |
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Passo 1
O problema é resolver a equação do calor bidimensional sem fonte, em forma adimensional,
no quadrado
, com condições de contorno
e condição inicial
O método pedido é a técnica implícita de direções alternadas (ADI), eficiente e não só condicionada pela CFL de esquemas totalmente explícitos.
Passo 2
Discretizamos o domínio em uma malha uniforme com passo espacial
em
e
e passo temporal
. Definimos
e escrevemos
. Denotamos o número de Fourier
. O método ADI faz duas metades de passo:
. Meio passo “
implícito,
explícito” para obter uma solução intermédia
.
. Meio passo “
implícito,
explícito” para obter
.
Passo 3
Meio–passo
(para cada
fixo, solve-se um sistema tridiagonal em
):
com
e
.
Meio–passo (para cada
fixo, sistema tridiagonal em
):
Meio–passo
com
e
.
Passo 4
Algoritmo geral:
. Inicializar
e impor as fronteiras.
. Para
até
atingir o tempo desejado:
a) para cada linha , montar e resolver o tridiagonal para
(meio–passo
).
b) para cada coluna , montar e resolver o tridiagonal para
(meio–passo
).
c) aplicar as condições de contorno em .
. Armazenar
para plotar.
a) para cada linha
b) para cada coluna
c) aplicar as condições de contorno em
Para resolver os sistemas tridiagonais use o algoritmo de Thomas (direto, custo
por sistema).
Passo 5
Implementação em, por exemplo, Python
NumPy
Matplotlib (módulo mplot
d):
- Monte vetores
e crie a malha com np.meshgrid
. - Para cada instante de interesse
guarde a matriz . - Use
para desenharfrom \(mpl_toolkits\).mplot\(3\)d import Axes\(3\)D fig \(=\) plt.figure() ax \(=\) fig.\(add_subplot\)(\(111\),projection\(=\)'\(3\)d') ax.\(plot_surface\)(X,Y,\(u_slice\), cmap\(=\)'viridis')
em D.
Passo 6
Resultados esperados:
(a) Em , a superfície é plana em
.
(b) Em um tempo intermediário (metade do caminho para o regime estacionário), observa-se uma região próxima às bordas superiores e direitas elevando-se em direção a , enquanto o centro ainda está perto de zero.
(c) No regime estacionário (após tempo “grande”), a solução numérica converge para aquela que satisfaz com as mesmas condições de contorno, ou seja, uma superfície lisa que sobe de
no canto inferior-esquerdo até
no canto superior-direito.
(a) Em
(b) Em um tempo intermediário (metade do caminho para o regime estacionário), observa-se uma região próxima às bordas superiores e direitas elevando-se em direção a
(c) No regime estacionário (após tempo “grande”), a solução numérica converge para aquela que satisfaz
Resposta
Implementando o método ADI conforme acima e plotando com uma rotina
D, obtemos:
(a) a condição inicial, um plano .
(b) em , uma superfície curvada subindo das bordas com
.
(c) no regime estacionário, a distribuição de temperatura solução de Laplace com as fronteiras zeradas no eixo e unitárias em
.
(a) a condição inicial, um plano
(b) em
(c) no regime estacionário, a distribuição de temperatura solução de Laplace com as fronteiras zeradas no eixo