1 Se A, B, C, D são pontos do plano x y tais que O B-O A=O C-O D, mostre que A B C D é um paralelogramo.

Passo 1

O enunciado diz que temos quatro pontos A,B,C,D no plano e que
O B-O A ;=;O C-O D
Queremos mostrar que A B C D é um paralelogramo. Para isso, vamos usar a definição vetorial de paralelogramo: um quadrilátero é paralelogramo se um par de lados opostos são paralelos e de mesmo comprimento, ou equivalentemente, se seus vetores-lado opostos são iguais.

Passo 2

Note que
A B = O B-O A e D C = O C-O D
A condição do enunciado é exatamente
A B = D C
Isto mostra que o vetor que vai de A a B é igual ao vetor que vai de D a C.

Passo 3

Como A B = D C, concluímos que AB e DC são segmentos paralelos e de igual comprimento, com mesma direção e orientação. Isso basta para garantir que o quadrilátero A B C D é um paralelogramo, pois em um paralelogramo cada par de lados opostos tem exatamente essas propriedades.

Resposta

A B C D é um paralelogramo.