SuperLU é um pacote de domínio público para fatoração LU. Forneça uma visão geral deste pacote.
Passo 1
O enunciado pede uma visão geral do SuperLU, um pacote de domínio público para fatoração LU de matrizes esparsas. O conteúdo envolve: definição de fatoração LU, desafios de matrizes esparsas (armazenamento e pivoteamento) e o papel de bibliotecas especializadas para resolver sistemas lineares grandes e esparsos.
Passo 2
SuperLU foi criado na Lawrence Berkeley National Laboratory por Xu, Demmel e Gilbert em meados dos anos 1990. É escrito em C com rotinas em Fortran para operações numéricas. O objetivo é oferecer um solver direto (não iterativo) que compute rapidamente as fatores
e
de matrizes esparsas, preservando a estrutura de zero para economia de memória e de operações.
Passo 3
Os recursos principais incluem:
- Armazenamento em formato Compressed Column Storage (CCS), que salva apenas valores não nulos e índices de linha.
- Ordenação prévia de colunas (colamd ou metis) para reduzir o “fill‐in” durante a fatoração.
- Pivoteamento parcial para controlar o crescimento numérico e garantir estabilidade.
- Rotinas de análise simbólica (estimativa de estrutura de
e antes da fatoração numérica) e análise numérica separadas.
Passo 4
Quanto ao algoritmo, SuperLU adota uma versão de Crout escalar por coluna:
- Análise simbólica: computa permutações
e tais que minimize fill‐in. - Fatoração numérica: para cada coluna
, coleta os elementos não nulos restantes, aplica pivoteamento e calcula as entradas de abaixo do pivô e de à direita. - Substituições direta e reversa: resolve
e depois para resolver .
Passo 5
SuperLU oferece várias interfaces:
- API em C para montagem manual de matrizes em CCS.
- Ligações (wrappers) em Fortran, MATLAB (via mex), Python (através de
scipy.sparse.linalg.splu
) e Julia. - Um spin‐off chamado
para fatoração distribuída usando MPI, ideal para clusters de alto desempenho. -
(multi‐threaded) que explora paralelismo em máquinas multicore.
Passo 6
Em termos de desempenho, SuperLU mostra aceleração significativa comparado a solvers densos quando as matrizes são esparsas e grandes (
variáveis, poucos não‐zeros por linha). A escolha de técnicas de ordenação e pivoteamento determina o tempo total e o uso de memória. Comparações com MUMPS e PARDISO mostram que, em muitos casos,
escala melhor em centenas de processos MPI.
Resposta
O SuperLU é um solver direto de código aberto em C/Fortran para fatoração LU de matrizes esparsas que combina:
• Armazenamento em CCS e análise simbólica para reduzir fill‐in;
• Pivoteamento parcial para estabilidade numérica;
• Interfaces em C, Fortran, MATLAB, Python e Julia;
• Versões paralelas ( ,
) para ambientes multicore e clusters;
• Uso intenso em aplicações de engenharia, simulação e otimização de grande escala.
• Armazenamento em CCS e análise simbólica para reduzir fill‐in;
• Pivoteamento parcial para estabilidade numérica;
• Interfaces em C, Fortran, MATLAB, Python e Julia;
• Versões paralelas (
• Uso intenso em aplicações de engenharia, simulação e otimização de grande escala.