Use integração dupla para calcular a área da regiāo ® no plano (x y) limitada pelas curvas dadas.
y=x^{2} e y=5 x.

Passo 1

O enunciado pede a área da região R limitada pelas curvas
y = x^2
e
y = 5x
O conteúdo é integração dupla aplicada ao cálculo de áreas, usando que
Área(R) = integral duplaR 1,dA Á

Passo 2

Para montar os limites, primeiro achamos a interseção das curvas resolvendo
x^2 = 5x ;Longrightarrow; x(x-5)=0 ;Longrightarrow; x=0 ou x=5
Nesses pontos, y=5x y=0 em x=0 e y=25 em x=5.

Passo 3

Escolhendo integrar primeiro em y e depois em x, temos que para cada xin[0,5], y varia de y=x^2 (curva de baixo) até y=5x (curva de cima). Logo,
Área(R) =integral duplaR1,dA =integralx=0^5!integraly=x^2^5x1,dy,dx Á

Passo 4

Calculamos a integral interna em y:
integraly=x^2^5x1,dy = 5x - x^2
Depois integramos em x:
integral0^5(5x - x^2),dx =[52x^2 - 13x^3]0^5 =52cdot25 - 13cdot125 =1252 - 1253 =1256

Resposta

1256