Use o método de Broyden para calcular \mathbf{x}^{(2)} para cada um dos sistemas não lineares.
3 x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=0, 3 x_{1} x_{2}^{2}-x_{1}^{3}-1=0. Use \mathbf{x}(0)=(1,1)^{t}.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o método de Broyden em duas equações não lineares
\begin{cases} 3x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=0,\\\\ 3x_{1}x_{2}^{2}-x_{1}^{3}-1=0, \end{cases}
partindo de \mathbf{x}^{(0)}=(1,1)^{t}. Precisamos de:
— o vetor \mathbf{f}(\mathbf{x}),
— uma aproximação inicial da jacobiana \mathbf{B}_{0} (usamos a jacobiana exata em \mathbf{x}^{(0)}),
— as fórmulas de Broyden para obter \mathbf{x}^{(1)}, \mathbf{B}_{1} e depois \mathbf{x}^{(2)}.

Passo 2

Calculamos \mathbf{f}(\mathbf{x}^{(0)}) e a jacobiana exata em \mathbf{x}^{(0)}:
\mathbf{f}(\mathbf{x})=\begin{pmatrix}3x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\\\ 3x_{1}x_{2}^{2}-x_{1}^{3}-1\end{pmatrix},\quad \mathbf{J}(\mathbf{x})=\begin{pmatrix}6x_{1}&-2x_{2}\\\ 3x_{2}^{2}-3x_{1}^{2}&6x_{1}x_{2}\end{pmatrix}.
Em \mathbf{x}^{(0)}=(1,1):
\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(0)})=\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix},\quad \mathbf{B}_{0}=\mathbf{J}(\mathbf{x}^{(0)})=\begin{pmatrix}6&-2\\\ 0&6\end{pmatrix}.

Passo 3

Obtemos \mathbf{x}^{(1)} resolvendo
\mathbf{B}_{0}\,\mathbf{s}_{0}=\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(0)}),\quad \mathbf{x}^{(1)}=\mathbf{x}^{(0)}-\mathbf{s}_{0}.
Da segunda linha vem 6\,s_{0,2}=1\Rightarrow s_{0,2}=\tfrac16.
Da primeira: 6\,s_{0,1}-2\,\tfrac16=2\Rightarrow s_{0,1}=\tfrac{7}{18}.
Logo
\mathbf{x}^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}7/18\\\ 1/6\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}11/18\\\ 5/6\end{pmatrix}.

Passo 4

Atualizamos \mathbf{B}_{1} pelo rank-1 de Broyden:
\mathbf{y}_{0}=\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(1)})-\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(0)}), \quad \mathbf{B}_{1} =\mathbf{B}_{0}+\frac{(\mathbf{y}_{0}-\mathbf{B}_{0}\mathbf{s}_{0})\,\mathbf{s}_{0}^{t}} {\mathbf{s}_{0}^{t}\mathbf{s}_{0}}.
Calcula-se numericamente \mathbf{f}(\mathbf{x}^{(1)})\approx(0.42593,0.04492)^{t}, \mathbf{s}_{0}^{t}\mathbf{s}_{0}=29/162,
e obtém-se
\mathbf{B}_{1}\approx \begin{pmatrix} 5.07356 & -2.39655\\\\ -0.09758 & 5.95697 \end{pmatrix}.

Passo 5

Finalmente, para \mathbf{x}^{(2)} resolvemos
\mathbf{B}_{1}\,\mathbf{s}_{1}=\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(1)}), \quad \mathbf{x}^{(2)}=\mathbf{x}^{(1)}-\mathbf{s}_{1}.
A resolução numérica dá \mathbf{s}_{1}\approx(0.08819,0.00898)^{t},
logo
\mathbf{x}^{(2)}\approx \begin{pmatrix}11/18\\\ 5/6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0.08819\\\ 0.00898\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0.52292\\\ 0.82435\end{pmatrix}.

Resposta

\mathbf{x}^{(2)}\approx \begin{pmatrix} 0.5229\\\\ 0.8244 \end{pmatrix}.

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