Use o método de Broyden para obter aproximações para as soluções dos seguintes sistemas não lineares. Itere até que \left\|\mathbf{x}^{(k)}-\mathbf{x}^{(k-1)}\right\|_{\infty}<10^{-6}
\quad x_{1}\left(1-x_{1}\right)+4 x_{2}=12,
\left(x_{1}-2\right)^{2}+\left(2 x_{2}-3\right)^{2}=25.

Passo 1

O sistema é
\begin{cases} x_{1}(1 - x_{1}) + 4\,x_{2} = 12,\\[6pt] (x_{1}-2)^{2} + (2\,x_{2}-3)^{2} = 25. \end{cases}
Queremos as interseções dessas curvas em \mathbb R^2. O conteúdo aqui é método de Broyden, um método quase‐Newtoniano para resolver
F(\mathbf x)=\mathbf0
sem precisar recomputar jacobiana exata a cada passo. Vamos montar
F(\mathbf x)= \begin{pmatrix} x_{1}(1 - x_{1}) + 4\,x_{2} - 12\\[4pt] (x_{1}-2)^{2} + (2\,x_{2}-3)^{2} - 25 \end{pmatrix},
e usar a fórmula de Broyden “boa”: se \mathbf x^{(k)} e J_{k} são a aproximação atual e a jacobiana aproximada, definimos
\mathbf s^{(k)}=-\,J_{k}^{-1}F\bigl(\mathbf x^{(k)}\bigr),\quad \mathbf x^{(k+1)}=\mathbf x^{(k)}+\mathbf s^{(k)},
e atualizamos
\mathbf y^{(k)}=F\bigl(\mathbf x^{(k+1)}\bigr)-F\bigl(\mathbf x^{(k)}\bigr),\quad J_{k+1}=J_{k}+\frac{\bigl(\mathbf y^{(k)}-J_{k}\,\mathbf s^{(k)}\bigr)\,\mathbf s^{(k)\,T}} {\mathbf s^{(k)\,T}\mathbf s^{(k)}}.
Iteramos até \|\mathbf x^{(k+1)}-\mathbf x^{(k)}\|_{\infty}<10^{-6}.]

Passo 2

Para cada raiz real escolhemos um chute inicial \mathbf x^{(0)} próximo do ponto desejado e montamos J_{0}=DF(\mathbf x^{(0)}) exatamente:
DF(\mathbf x)= \begin{pmatrix} 1-2\,x_{1} & 4\\[4pt] 2(x_{1}-2) & 4\,(2\,x_{2}-3) \end{pmatrix}.
Em seguida aplicamos as fórmulas acima até a tolerância.]

Passo 3

Primeira solução (ponto (-1,3.5)):
Escolhemos \mathbf x^{(0)}=(0,3).
Então
F(\mathbf x^{(0)})=\begin{pmatrix}0\\[2pt]-12\end{pmatrix},\quad J_{0}=\begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt]-4 & 12\end{pmatrix}.
Na primeira iteração obtém‐se \mathbf x^{(1)}\approx(-1.7142857,\;3.4285714).
Repetindo as atualizações de Broyden, em três iterações satisfazemos \|\mathbf x^{(3)}-\mathbf x^{(2)}\|_{\infty}<10^{-6}
e encontramos
\mathbf x^{(3)}\approx\bigl(-1.000000,\;3.500000\bigr).]

Passo 4

Segunda solução (ponto (2{,}547124,\;3{,}984986)):
Escolhemos \mathbf x^{(0)}=(2{,}5,\,4).
Calcula‐se
F(\mathbf x^{(0)})\approx\begin{pmatrix}0{,}25\\[2pt]0{,}25\end{pmatrix},\quad J_{0}=\begin{pmatrix}-4 & 4\\[4pt]1 & 20\end{pmatrix}.
A primeira iteração dá \mathbf x^{(1)}\approx(2{,}547619,\;3{,}985119).
Após atualizar J e fazer a segunda iteração, o passo \mathbf x^{(2)}-\mathbf x^{(1)} já tem norma infinita
menor que 10^{-6}, produzindo
\mathbf x^{(2)}\approx\bigl(2{,}547124,\;3{,}984986\bigr).]

Resposta

As duas soluções reais aproximadas são
(-1{,}000000,\;3{,}500000) \quad\text{e}\quad (2{,}547124,\;3{,}984986).

Exercícios de Livros Relacionados