Use todos os métodos de Adams-Bashforth para encontrar aproximações das soluções dos problemas de valor inicial. Em cada caso, use valores iniciais exatos e compare os resultados com os valores reais.
y^{\prime}=t e^{3 t}-2 \mathrm{y}, \quad 0 \leq t \leq 1, \quad y(0)=0, \operatorname{com} h=0,2; solução real y(t)=\frac{1}{5} t e^{3 t}-\frac{1}{25} e^{3 t}+\frac{1}{25} e^{-2 t}.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y'=t e^{3t}-2y,\quad y(0)=0,
no intervalo 0\le t\le1 com passo h=0,2. A solução exata é
y(t)=\frac{1}{5}\,t\,e^{3t}-\frac{1}{25}\,e^{3t}+\frac{1}{25}\,e^{-2t}.
Vamos aplicar os métodos de Adams–Bashforth de ordem 1 a 5 (AB1 a AB5), usando sempre os valores iniciais exatos, e comparar y(1) aproximado com y(1) exato.

Passo 2

Calculamos primeiro os valores exatos em cada nó t_n=0,0{,}2,0{,}4,0{,}6,0{,}8,1 e as derivadas f_n=f(t_n,y(t_n)).
Em cada t_n:
y_n=y(t_n)=\frac{1}{5}t_n e^{3t_n}-\frac{1}{25}e^{3t_n}+\frac{1}{25}e^{-2t_n},
f_n=t_n e^{3t_n}-2y_n.
Numericamente isso dá: t_n: 0, 0,2, 0,4, 0,6, 0,8, 1,0 y_n: 0, 0,0268128, 0,1507779, 0,4960196, 1,330857, 3,219099 f_n: 0, 0,3107982, 1,0264912, 2,637749, 6,1568268, 13,647338

Passo 3

Método AB1 (Euler explícito):
y_{n+1}=y_n+h\,f_n.
Iterando de n=0 até 4 com h=0{,}2, obtemos y(1)\approx2{,}026373.

Passo 4

Método AB2:
y_{n+1}=y_n+h\Bigl(\tfrac32f_n-\tfrac12f_{n-1}\Bigr),
com y_0=0 e y_1 exato. Iterando até n=4 y(1)\approx2{,}6688685.

Passo 5

Método AB3:
y_{n+1}=y_n+h\Bigl(\tfrac{23}{12}f_n-\tfrac{16}{12}f_{n-1}+\tfrac{5}{12}f_{n-2}\Bigr),
com y_0,y_1,y_2 exatos. Iterando até n=4 y(1)\approx2{,}9674115.

Passo 6

Método AB4:
y_{n+1}=y_n+h\Bigl(\tfrac{55}{24}f_n-\tfrac{59}{24}f_{n-1}+\tfrac{37}{24}f_{n-2}-\tfrac{9}{24}f_{n-3}\Bigr),
com y_0,\dots,y_3 exatos. Iterando até n=4 y(1)\approx3{,}1155814.

Passo 7

Método AB5:
y_{n+1}=y_n+h\Bigl(\tfrac{1901}{720}f_n-\tfrac{2774}{720}f_{n-1}+\tfrac{2616}{720}f_{n-2}-\tfrac{1274}{720}f_{n-3}+\tfrac{251}{720}f_{n-4}\Bigr),
com y_0,\dots,y_4 exatos. Iterando para n=4 y(1)\approx3{,}185959.

Passo 8

O valor exato em t=1 é y(1)=3{,}219099. As aproximações e erros são:
AB1: 2{,}026373 (erro \approx1{,}192726)
AB2: 2{,}6688685 (erro \approx0{,}5502305)
AB3: 2{,}9674115 (erro \approx0{,}2516878)
AB4: 3{,}1155814 (erro \approx0{,}1035179)
AB5: 3{,}185959 (erro \approx0{,}0331403)

Resposta

AB1: y(1)\approx2,026373
AB2: y(1)\approx2,6688685
AB3: y(1)\approx2,9674115
AB4: y(1)\approx3,1155814
AB5: y(1)\approx3,185959
Comparando com y(1)=3,219099, vemos que o erro diminui à medida que aumentamos a ordem do método.