Use todos os métodos de Adams-Bashforth para encontrar aproximações das soluções dos problemas de valor inicial. Em cada caso, use valores iniciais exatos e compare os resultados com os valores reais.
; solução real
.
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
no intervalo
com passo
. A solução exata é
Vamos aplicar os métodos de Adams–Bashforth de ordem 1 a 5 (AB1 a AB5), usando sempre os valores iniciais exatos, e comparar
aproximado com
exato.
Passo 2
Calculamos primeiro os valores exatos em cada nó
e as derivadas
.
Em cada
:
Numericamente isso dá:
: 0, 0,2, 0,4, 0,6, 0,8, 1,0
: 0, 0,0268128, 0,1507779, 0,4960196, 1,330857, 3,219099
: 0, 0,3107982, 1,0264912, 2,637749, 6,1568268, 13,647338
Passo 3
Método AB1 (Euler explícito):
Iterando de
até
com
, obtemos
.
Passo 4
Método AB2:
com
e
exato. Iterando até
dá
.
Passo 5
Método AB3:
com
exatos. Iterando até
dá
.
Passo 6
Método AB4:
com
exatos. Iterando até
dá
.
Passo 7
Método AB5:
com
exatos. Iterando para
dá
.
Passo 8
O valor exato em
é
. As aproximações e erros são:
AB1: (erro
)
AB2: (erro
)
AB3: (erro
)
AB4: (erro
)
AB5: (erro
)
AB1:
AB2:
AB3:
AB4:
AB5:
Resposta
AB1:
AB2:
AB3:
AB4:
AB5:
Comparando com , vemos que o erro diminui à medida que aumentamos a ordem do método.
AB2:
AB3:
AB4:
AB5:
Comparando com