(1,0) No cálculo do tamanho mínimo de uma amostra, que argumento você utilizaria para justíficar utilizar o valor de Zc referente à \alpha / 2 e não apenas \alpha ?

Passo 1

O enunciado pergunta por que, ao calcular o tamanho mínimo de amostra para construir um intervalo de confiança bilateral com nível de confiança 1 - \alpha, usamos o valor crítico da normal padrão correspondente a \alpha/2 (ou seja, Z_{1-\alpha/2}) em vez de usar Z_{1-\alpha}. Para responder, vamos recorrer à ideia de como se distribui a probabilidade de erro nos dois “ramos” (caudas) da curva normal.

Passo 2

Um intervalo de confiança bilateral de nível 1 - \alpha deixa uma probabilidade total de \alpha fora da região de cobertura. Como o intervalo é simétrico em relação à média, essa probabilidade de \alpha fica dividida igualmente entre a cauda inferior e a cauda superior, dando \alpha/2 em cada lado. Assim, para que a área central (entre os dois cortes) seja exatamente 1 - \alpha, cada corte deve ocorrer no quantil de nível
1 - \frac{\alpha}{2}.
Esse quantil é justamente Z_{1-\alpha/2}. Se usássemos o quantil Z_{1-\alpha}, estaríamos deixando somente \alpha em uma única cauda e zero na outra, o que não reflete um intervalo bilateral de confiança.

Resposta

Usamos Z_{1-\alpha/2} porque, para garantir que a área total fora do intervalo bilateral seja \alpha, precisamos dividir esse \alpha em duas caudas simétricas de \alpha/2. Dessa forma o intervalo central cobre exatamente 1 - \alpha da distribuição normal.

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