Questão 01 ( 0,6 ponto)

Considere a função w=f(x, y, z)=5 x^{3} y^{2} z. A partir da definição as derivadas parciais, determine \frac{\partial f}{\partial x^{\prime}} \frac{\partial f}{\partial y} \mathrm{e} \frac{\partial f}{\partial z}.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y,z)=5x^{3}y^{2}z e pede as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} e \frac{\partial f}{\partial z} usando a definição de derivada parcial.

Passo 2

Recordando a definição, por exemplo
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z) = \lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h}.
As demais derivadas parciais são feitas de forma análoga, variando só a variável em questão e mantendo as outras constantes.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
Temos
f(x+h,y,z) =5(x+h)^{3}y^{2}z =5y^{2}z\bigl(x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}\bigr).
Então
f(x+h,y,z)-f(x,y,z) =5y^{2}z\bigl(3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}\bigr),
e ao dividir por h e fazer h\to0, só sobra o termo em x^{2}:
\frac{\partial f}{\partial x} =5y^{2}z\cdot3x^{2} =15x^{2}y^{2}z.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
Aqui x e z são constantes, então vemos
f=5x^{3}z\,y^{2}
e aplicamos a regra de potência:
\frac{\partial f}{\partial y} =5x^{3}z\cdot2y =10x^{3}y z.

Passo 5

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}.
Agora x e y são constantes, então
f=5x^{3}y^{2}z
e
\frac{\partial f}{\partial z} =5x^{3}y^{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=15x^{2}y^{2}z,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=10x^{3}y z,\quad \frac{\partial f}{\partial z}=5x^{3}y^{2}.

Exercícios relacionados