Cálculo de tensão em um material elástico: A deformação de um material elástico sob tensão é descrita pela equação diferencial:
Onde
é a tensão no material e
é a constante de dissipação.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
.
As perguntas implícitas (o que precisamos encontrar) são: - Determinar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. - Entender o comportamento dessa solução no tempo (por exemplo, o que acontece quando
, e o papel de e de ).
Passo 2
Classificação e escolha do método (sem resolver ainda).
- A equação escrita em termos de
e tem a forma com . - Esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, e é muito simples: as variáveis são separáveis (pode-se escrever todos os termos com
de um lado e todos os termos com do outro). - Vou usar o método de separação de variáveis porque é o mais direto aqui e é uma técnica básica que funciona sem truques: separar
e , integrar e aplicar a condição inicial.
Passo 3
Separar variáveis.
- Parto de
. - Pressupõe-se
possivelmente diferente de zero para dividir por ; a solução é um caso particular que também será contemplado pelo resultado geral. - Separe os termos com
de um lado e com do outro:
Passo 4
Integrar ambos os lados.
- Integramos em
(ou seja, em variáveis correspondentes):
- As integrais conhecidas são
e . Juntando as constantes numa só constante obtemos:
Passo 5
Resolver para
(exponenciação) e determinar a constante de integração.
- Exponenciando ambos os lados:
- Escreve-se
como uma constante positiva . Então , o que implica . Isso pode ser reunido num único parâmetro real (que pode ser positivo, negativo ou zero):
onde
é uma constante real determinada pela condição inicial.
Passo 6
Aplicar a condição inicial
para achar
.
- Substituindo
em :
- Logo a constante
é exatamente . Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Passo 7
Discussão física e propriedades da solução (interpretação didática).
- A solução
é uma decaída exponencial no tempo. Isso significa que a tensão diminui continuamente a partir do valor inicial . - O parâmetro
controla a rapidez da dissipação: - Se
(caso físico de dissipação), a tensão vai a zero quando : . - Se
, a equação vira e (tensão constante). - Se
(não físico para dissipação), a solução cresce exponencialmente (instabilidade).
- Se
- Tempo característico: define-se a constante de tempo
(quando ). Em a tensão caiu para vezes o valor inicial, isto é . - Meio prático: tempo para chegar à metade do valor inicial (meia-vida):
Passo 8
Exemplo numérico rápido para fixar (sem depender de calculadora para o método).
- Suponha
(unidades quaisquer) e . Então
- Isso mostra concretamente quanto diminui a tensão após
segundo quando a dissipação é forte ( ).
Passo 9
Dicas para a prova — como reconhecer e resolver rápido:
- Ao ver
(com constante), lembrar imediatamente da solução exponencial . No caso aqui . - Se não lembrar rapidamente, faça separação de variáveis:
, integre, exponencie e use a condição inicial. - Sempre confira sinais (
aqui dá decaimento) e o caso especial .