Cálculo de tensão em um material elástico: A deformação de um material elástico sob tensão é descrita pela equação diferencial:
\frac{d \sigma}{d t}=-\gamma \sigma, \quad \sigma(0)=\sigma_{0}
Onde \sigma(t) é a tensão no material e \gamma é a constante de dissipação.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial:
  • Equação diferencial: \dfrac{d\sigma}{dt} = -\gamma \sigma.
  • Condição inicial: \sigma(0)=\sigma_{0}.
    As perguntas implícitas (o que precisamos encontrar) são:
  • Determinar a função \sigma(t) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
  • Entender o comportamento dessa solução no tempo (por exemplo, o que acontece quando t\to\infty, e o papel de \gamma e de \sigma_{0}).

Passo 2

Classificação e escolha do método (sem resolver ainda).
  • A equação escrita em termos de \sigma e t tem a forma \dfrac{d\sigma}{dt} = f(t,\sigma) com f(t,\sigma)=-\gamma\sigma.
  • Esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, e é muito simples: as variáveis são separáveis (pode-se escrever todos os termos com \sigma de um lado e todos os termos com t do outro).
  • Vou usar o método de separação de variáveis porque é o mais direto aqui e é uma técnica básica que funciona sem truques: separar \sigma e t, integrar e aplicar a condição inicial.

Passo 3

Separar variáveis.
  • Parto de \dfrac{d\sigma}{dt} = -\gamma \sigma.
  • Pressupõe-se \sigma possivelmente diferente de zero para dividir por \sigma; a solução \sigma\equiv 0 é um caso particular que também será contemplado pelo resultado geral.
  • Separe os termos com \sigma de um lado e com t do outro:
\frac{1}{\sigma}\,d\sigma = -\gamma \,dt.

Passo 4

Integrar ambos os lados.
  • Integramos em t (ou seja, em variáveis correspondentes):
\int \frac{1}{\sigma}\,d\sigma = \int -\gamma \,dt.
  • As integrais conhecidas são \int \dfrac{1}{\sigma}\,d\sigma = \ln|\sigma| + C_1 e \int -\gamma\,dt = -\gamma t + C_2. Juntando as constantes numa só constante C obtemos:
\ln|\sigma| = -\gamma t + C.

Passo 5

Resolver para \sigma (exponenciação) e determinar a constante de integração.
  • Exponenciando ambos os lados:
|\sigma| = e^{C} e^{-\gamma t}.
  • Escreve-se e^{C} como uma constante positiva A>0. Então |\sigma|=A e^{-\gamma t}, o que implica \sigma = \pm A e^{-\gamma t}. Isso pode ser reunido num único parâmetro real C' (que pode ser positivo, negativo ou zero):
\sigma(t) = C' e^{-\gamma t},
onde C' é uma constante real determinada pela condição inicial.

Passo 6

Aplicar a condição inicial \sigma(0)=\sigma_{0} para achar C'.
  • Substituindo t=0 em \sigma(t)=C' e^{-\gamma t}:
\sigma(0)=C' e^{0}=C'=\sigma_{0}.
  • Logo a constante C' é exatamente \sigma_{0}. Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
\sigma(t)=\sigma_{0} e^{-\gamma t}.

Passo 7

Discussão física e propriedades da solução (interpretação didática).
  • A solução \sigma(t)=\sigma_{0} e^{-\gamma t} é uma decaída exponencial no tempo. Isso significa que a tensão diminui continuamente a partir do valor inicial \sigma_{0}.
  • O parâmetro \gamma controla a rapidez da dissipação:
    • Se \gamma>0 (caso físico de dissipação), a tensão vai a zero quando t\to\infty: \lim_{t\to\infty}\sigma(t)=0.
    • Se \gamma=0, a equação vira \dfrac{d\sigma}{dt}=0 e \sigma(t)=\sigma_{0} (tensão constante).
    • Se \gamma<0 (não físico para dissipação), a solução cresce exponencialmente (instabilidade).
  • Tempo característico: define-se a constante de tempo \tau=\dfrac{1}{\gamma} (quando \gamma>0). Em t=\tau a tensão caiu para e^{-1} vezes o valor inicial, isto é \sigma(\tau)=\sigma_{0} e^{-1}.
  • Meio prático: tempo para chegar à metade do valor inicial (meia-vida):
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\gamma}.

Passo 8

Exemplo numérico rápido para fixar (sem depender de calculadora para o método).
  • Suponha \sigma_{0}=100 (unidades quaisquer) e \gamma=2\\ \text{s}^{-1}. Então
\sigma(1)=100\,e^{-2}\approx 100\cdot 0{,}1353\approx 13{,}53.
  • Isso mostra concretamente quanto diminui a tensão após 1 segundo quando a dissipação é forte ( \gamma=2).

Passo 9

Dicas para a prova — como reconhecer e resolver rápido:
  • Ao ver \dfrac{d\sigma}{dt} = k\,\sigma (com k constante), lembrar imediatamente da solução exponencial \sigma(t)=\sigma(0)e^{k t}. No caso aqui k=-\gamma.
  • Se não lembrar rapidamente, faça separação de variáveis: \dfrac{d\sigma}{\sigma}=k\,dt, integre, exponencie e use a condição inicial.
  • Sempre confira sinais ( -\gamma aqui dá decaimento) e o caso especial \gamma=0.

Resposta

\sigma(t)=\sigma_{0}e^{-\gamma t}

Exercícios relacionados