Onde L é a indutância, R é a resistência, C é a capacitância e I_{0} é a corrente inicial.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de um circuito RLC série homogêneo e as condições iniciais. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Equação diferencial:
L \frac{d^{2} I}{d t^{2}}+R \frac{d I}{d t}+\frac{1}{C} I=0
Condições iniciais:
I(0)=I_{0},\qquad \frac{dI}{dt}(0)=0.
Pedido: encontrar a corrente I(t) para todo t\ge0. Como a equação tem coeficientes constantes, a solução típica depende do discriminante da equação característica; portanto será necessário apresentar a solução geral e aplicar as condições iniciais, distinguindo os casos dependendo de R,L,C.
Passo 2
Vamos transformar a equação em sua forma padrão e escrever a equação característica.
Uma forma alternativa é escrever como I(t)=A e^{-\alpha t}\cos(\omega_d t-\varphi), mas a forma com \cos e \sin é direta de aplicar condições iniciais sem ajuste de fase.
Passo 5
Aqui a equação característica tem raiz dupla r=-\alpha. A solução geral é da forma
I(t)=(A+Bt)e^{-\alpha t}.
Aplicando I(0)=I_{0} dá A=I_{0}.
Derivando:
\frac{dI}{dt}=(B-\alpha(A+Bt))e^{-\alpha t}.
Avaliado em t=0 com I'(0)=0 resulta
0=B-\alpha A \quad\Rightarrow\quad B=\alpha A=\alpha I_{0}.
Use \alpha=\dfrac{R}{2L} e \omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}. Compare \alpha^2 com \omega_0^2 (ou R^2 com 4L/C) para decidir o caso.
Para provas: memorize as três formas (exponencial com cosseno/seno; polinomial vezes exponencial; soma de exponenciais) e pratique aplicar as condições iniciais: I(0) fixa a combinação inicial, I'(0) fornece a segunda constante.
Física rápida: subamortecido dá oscilações amortecidas; crítico dá decaimento mais rápido sem oscilar; superamortecido decai sem oscilar mas mais lentamente que o crítico no início.
Força aí — com esses passos você consegue montar a solução na prova mesmo sob pressão!