Circuito RLC: Em um circuito série RLC, a equação diferencial para a corrente I(t) é dada por:
L \frac{d^{2} I}{d t^{2}}+R \frac{d I}{d t}+\frac{1}{C} I=0, \quad I(0)=I_{0}, \quad \frac{d I}{d t}(0)=0
Onde L é a indutância, R é a resistência, C é a capacitância e I_{0} é a corrente inicial.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de um circuito RLC série homogêneo e as condições iniciais. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
  • Equação diferencial:
L \frac{d^{2} I}{d t^{2}}+R \frac{d I}{d t}+\frac{1}{C} I=0
  • Condições iniciais:
I(0)=I_{0},\qquad \frac{dI}{dt}(0)=0.
  • Pedido: encontrar a corrente I(t) para todo t\ge0. Como a equação tem coeficientes constantes, a solução típica depende do discriminante da equação característica; portanto será necessário apresentar a solução geral e aplicar as condições iniciais, distinguindo os casos dependendo de R,L,C.

Passo 2

Vamos transformar a equação em sua forma padrão e escrever a equação característica.
Dividindo a equação por L fica
\frac{d^{2}I}{dt^{2}}+\frac{R}{L}\frac{dI}{dt}+\frac{1}{LC}I=0.
Para facilitar a notação introduzimos duas constantes úteis (são fórmulas padrão que aparecem em osciladores):
\alpha=\frac{R}{2L}\qquad\text{e}\qquad \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}.
Aqui \alpha é a taxa de amortecimento (em s^{-1}) e \omega_0 é a frequência natural não amortecida (em rad/s).
A equação característica associada à equação diferencial é obtida ao tentar soluções do tipo I(t)=e^{rt}. Substituindo obtemos
r^{2}+\frac{R}{L}r+\frac{1}{LC}=0.
Em termos de \alpha e \omega_0 isso é
r^{2}+2\alpha r+\omega_0^{2}=0.

Passo 3

Resolvendo a quadrática obtemos as raízes
r=-\alpha\pm\sqrt{\alpha^{2}-\omega_0^{2}}.
O sinal dentro da raiz determina três regimes:
  • Caso 1 (subamortecido / subcritico): \alpha^{2}<\omega_0^{2} (equivalente a R^{2}<4L/C). As raízes são complexas conjugadas.
  • Caso 2 (criticamente amortecido): \alpha^{2}=\omega_0^{2} (equivalente a R^{2}=4L/C). Há uma raiz real dupla.
  • Caso 3 (superamortecido / sobreamortecido): \alpha^{2}>\omega_0^{2} (equivalente a R^{2}>4L/C). As raízes são reais e distintas.
Vou tratar cada caso separadamente, encontrando a solução geral e aplicando as condições iniciais I(0)=I_0,\\ I'(0)=0.

Passo 4

Defina a frequência amortecida
\omega_d=\sqrt{\omega_0^{2}-\alpha^{2}}>0.
Para raízes complexas a solução geral é
I(t)=e^{-\alpha t}\big(C_{1}\cos(\omega_d t)+C_{2}\sin(\omega_d t)\big),
onde C_{1},C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Aplicando I(0)=I_{0}
I(0)=C_{1}=I_{0}.
Agora derivamos I(t). Usamos regra do produto e derivadas de seno/cosseno:
\frac{dI}{dt}=e^{-\alpha t}\Big[-\alpha(C_{1}\cos\omega_d t+C_{2}\sin\omega_d t)-C_{1}\omega_d\sin\omega_d t+C_{2}\omega_d\cos\omega_d t\Big].
Avaliado em t=0 e usando I'(0)=0 temos
0= -\alpha C_{1}+C_{2}\omega_d.
Como C_{1}=I_{0}, segue
C_{2}=\frac{\alpha I_{0}}{\omega_d}.
Portanto a solução no caso subamortecido é
\boxed{I(t)=I_{0}e^{-\alpha t}\left(\cos(\omega_d t)+\frac{\alpha}{\omega_d}\sin(\omega_d t)\right),\quad \omega_d=\sqrt{\omega_0^{2}-\alpha^{2}}.}
Uma forma alternativa é escrever como I(t)=A e^{-\alpha t}\cos(\omega_d t-\varphi), mas a forma com \cos e \sin é direta de aplicar condições iniciais sem ajuste de fase.

Passo 5

Aqui a equação característica tem raiz dupla r=-\alpha. A solução geral é da forma
I(t)=(A+Bt)e^{-\alpha t}.
Aplicando I(0)=I_{0} A=I_{0}.
Derivando:
\frac{dI}{dt}=(B-\alpha(A+Bt))e^{-\alpha t}.
Avaliado em t=0 com I'(0)=0 resulta
0=B-\alpha A \quad\Rightarrow\quad B=\alpha A=\alpha I_{0}.
Logo a solução criticamente amortecida é
\boxed{I(t)=I_{0}\big(1+\alpha t\big)e^{-\alpha t}.}

Passo 6

Defina
s=\sqrt{\alpha^{2}-\omega_0^{2}}>0
e as duas raízes reais distintas
r_{1}=-\alpha+s,\qquad r_{2}=-\alpha-s.
A solução geral é
I(t)=A e^{r_{1}t}+B e^{r_{2}t}.
Aplicando I(0)=I_{0}
A+B=I_{0}. \tag{1}
Derivando e avaliando em t=0,
\frac{dI}{dt}(0)=A r_{1}+B r_{2}=0. \tag{2}
Resolvendo o sistema (1)-(2) para A e B: da (2) A r_{1}=-B r_{2} então
B=\frac{I_{0}r_{1}}{r_{1}-r_{2}}=\frac{I_{0}(-\alpha+s)}{2s}=\frac{I_{0}(s-\alpha)}{2s},
A=I_{0}-B=\frac{I_{0}(\alpha+s)}{2s}.
Portanto a solução é
\boxed{I(t)=\frac{I_{0}}{2s}\Big((\alpha+s)e^{(-\alpha+s)t}+(s-\alpha)e^{(-\alpha-s)t}\Big),\quad s=\sqrt{\alpha^{2}-\omega_0^{2}}.}

Passo 7

  • Use \alpha=\dfrac{R}{2L} e \omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}. Compare \alpha^2 com \omega_0^2 (ou R^2 com 4L/C) para decidir o caso.
  • Para provas: memorize as três formas (exponencial com cosseno/seno; polinomial vezes exponencial; soma de exponenciais) e pratique aplicar as condições iniciais: I(0) fixa a combinação inicial, I'(0) fornece a segunda constante.
  • Física rápida: subamortecido dá oscilações amortecidas; crítico dá decaimento mais rápido sem oscilar; superamortecido decai sem oscilar mas mais lentamente que o crítico no início.
Força aí — com esses passos você consegue montar a solução na prova mesmo sob pressão!

Resposta

Caso subamortecido ( R^{2}<4L/C):
I(t)=I_{0}e^{-\alpha t}\left(\cos(\omega_d t)+\frac{\alpha}{\omega_d}\sin(\omega_d t)\right),\quad \alpha=\frac{R}{2L},\\ \omega_d=\sqrt{\omega_0^{2}-\alpha^{2}},\\ \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}.
Caso criticamente amortecido ( R^{2}=4L/C):
I(t)=I_{0}\big(1+\alpha t\big)e^{-\alpha t},\quad \alpha=\frac{R}{2L}.
Caso superamortecido ( R^{2}>4L/C):
I(t)=\frac{I_{0}}{2s}\Big((\alpha+s)e^{(-\alpha+s)t}+(s-\alpha)e^{(-\alpha-s)t}\Big),\quad s=\sqrt{\alpha^{2}-\omega_0^{2}},\\ \alpha=\frac{R}{2L},\\ \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}.

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