CÁLCULO 1 UNIFICADO - 2024-1 - SEGUNDA PROVA - B - BOA PROVA!
Resposta: Temos uma indeterminação do tipo
. Então usaremos a regra de LHôpital para calcular o limite.
QUESTÃO 2 (1.5 pontos) Calcule
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado pede calcular o limite
- Informações úteis que já estão no enunciado:
- A função numeradora é a diferença de duas funções suaves perto de
: e . - O ponto de interesse é
.
- A função numeradora é a diferença de duas funções suaves perto de
Passo 2
Verificar o tipo de indeterminação: calcular os limites separados do numerador e do denominador quando
.
- Denominador:
- Numerador:
Como numerador e denominador tendem a
, temos uma indeterminação do tipo
. Isso permite usar ferramentas que resolvem esse tipo de indeterminação (por exemplo, a regra de L’Hôpital ou expansão em séries). Vou aplicar a regra de L’Hôpital porque é direta aqui.
Passo 3
Enunciado da regra de L’Hôpital (versão para
) e condições para usá-la:
- Regra de L’Hôpital: se
e , e e são diferenciáveis num intervalo aberto contendo (exceto possivelmente em ) e perto de (exceto possivelmente em ), então, se existir o limite
temos
- No nosso caso
e . Ambas são diferenciáveis perto de , e . Portanto podemos aplicar L’Hôpital.
Passo 4
Calcular
com explicação das regras de diferenciação usadas.
- Regra da cadeia para
: se , então . Aqui . Logo
- Derivada de
: como , segue que
- Somando as duas partes, a derivada do numerador é
- A derivada do denominador é
.
Passo 5
Aplicar L’Hôpital: substituir o limite original pelo limite do quociente das derivadas.
Como a função à direita é contínua em
, podemos avaliar diretamente em
:
Portanto o limite é
.
Passo 6
(Verificação alternativa por séries — útil para treinar e entender por outro ângulo)
- Expansões para
pequeno: -
. -
(bastando os termos até ordem ). -
.
-
- Substituindo na diferença:
- Dividindo por
: . Tomando dá . Confirma o resultado anterior.