CÁLCULO 1 UNIFICADO - 2024-1 - SEGUNDA PROVA - B - BOA PROVA!
Resposta: Temos uma indeterminação do tipo \frac{\ell}{0}. Então usaremos a regra de LHôpital para calcular o limite.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\operatorname{sn}(x)-\cos (x)}}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (x) e^{\operatorname{sen}(x)}+\operatorname{sen}(x)}{1}=\cos (0) e^{\operatorname{sen}(0)}+\operatorname{sen}(0)=1 .
QUESTÃO 2 (1.5 pontos) Calcule
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\operatorname{sen}(x)}-\cos (x)}{x} .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{\operatorname{sen}(x)}-\cos(x)}{x}.
  • Informações úteis que já estão no enunciado:
    • A função numeradora é a diferença de duas funções suaves perto de x=0: e^{\operatorname{sen}(x)} e \cos(x).
    • O ponto de interesse é x=0.

Passo 2

Verificar o tipo de indeterminação: calcular os limites separados do numerador e do denominador quando x\to0.
  • Denominador: \lim_{x\to0} x = 0.
  • Numerador: \lim_{x\to0} \bigl(e^{\operatorname{sen}(x)}-\cos(x)\bigr) = e^{\operatorname{sen}(0)}-\cos(0) = e^{0}-1 = 1-1 = 0.
Como numerador e denominador tendem a 0, temos uma indeterminação do tipo \dfrac{0}{0}. Isso permite usar ferramentas que resolvem esse tipo de indeterminação (por exemplo, a regra de L’Hôpital ou expansão em séries). Vou aplicar a regra de L’Hôpital porque é direta aqui.

Passo 3

Enunciado da regra de L’Hôpital (versão para 0/0) e condições para usá-la:
  • Regra de L’Hôpital: se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0, e f e g são diferenciáveis num intervalo aberto contendo a (exceto possivelmente em a) e g'(x)\neq 0 perto de a (exceto possivelmente em a), então, se existir o limite
\lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)},
temos
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}.
  • No nosso caso f(x)=e^{\operatorname{sen}(x)}-\cos(x) e g(x)=x. Ambas são diferenciáveis perto de 0, e g'(x)=1\neq0. Portanto podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 4

Calcular f'(x) com explicação das regras de diferenciação usadas.
  • Regra da cadeia para e^{\operatorname{sen}(x)}: se u(x)=\operatorname{sen}(x), então \dfrac{d}{dx}e^{u(x)} = u'(x)\,e^{u(x)}. Aqui u'(x)=\cos(x). Logo
\frac{d}{dx} e^{\operatorname{sen}(x)} = \cos(x)\,e^{\operatorname{sen}(x)}.
  • Derivada de -\cos(x): como \dfrac{d}{dx}\cos(x) = -\operatorname{sen}(x), segue que
\frac{d}{dx}\bigl(-\cos(x)\bigr) = -\bigl(-\operatorname{sen}(x)\bigr) = \operatorname{sen}(x).
  • Somando as duas partes, a derivada do numerador é
f'(x) = \cos(x)\,e^{\operatorname{sen}(x)} + \operatorname{sen}(x).
  • A derivada do denominador é g'(x)=1.

Passo 5

Aplicar L’Hôpital: substituir o limite original pelo limite do quociente das derivadas.
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{\operatorname{sen}(x)}-\cos(x)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \bigl(\cos(x)\,e^{\operatorname{sen}(x)} + \operatorname{sen}(x)\bigr).
Como a função à direita é contínua em x=0, podemos avaliar diretamente em 0:
\cos(0)\,e^{\operatorname{sen}(0)} + \operatorname{sen}(0) = 1\cdot e^{0} + 0 = 1.
Portanto o limite é 1.

Passo 6

(Verificação alternativa por séries — útil para treinar e entender por outro ângulo)
  • Expansões para x pequeno:
    • \operatorname{sen}(x)=x - \dfrac{x^{3}}{6} + o(x^{3}).
    • e^{\operatorname{sen}(x)} = 1 + \operatorname{sen}(x) + \dfrac{\operatorname{sen}(x)^{2}}{2} + o(x^{2}) = 1 + x + o(x) (bastando os termos até ordem x).
    • \cos(x)=1 - \dfrac{x^{2}}{2} + o(x^{2}).
  • Substituindo na diferença:
e^{\operatorname{sen}(x)}-\cos(x) = (1 + x + o(x)) - \bigl(1 - \tfrac{x^{2}}{2} + o(x^{2})\bigr) = x + \tfrac{x^{2}}{2} + o(x).
  • Dividindo por x: \dfrac{e^{\operatorname{sen}(x)}-\cos(x)}{x} = 1 + \dfrac{x}{2} + o(1). Tomando x\to0 1. Confirma o resultado anterior.

Resposta

1

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