Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva (integral indefinida)
Informações dadas:
- O integrando é uma função racional com denominador
. - Deve-se encontrar uma antiderivada (somar constante de integração no final).
Passo 2
Primeira ideia prática: simplificar a expressão quadrática completando o quadrado. Note que
Fazemos a substituição
. Assim
e
. Reescrevendo numerador em
:
Calcule
com
:
Então
O denominador fica
. Portanto a integral torna-se
Passo 3
Vamos decompor em frações parciais adequadas para denominador
. A forma geral é
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Expanda o lado direito:
Compare coeficientes com o polinômio à esquerda:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Logo a decomposição é
Passo 4
Integramos termo a termo:
- Para
use , , logo . - Para
.
Portanto
Passo 5
Agora
separa-se em
Para
faça
,
. Assim
Passo 6
Falta
. Uma derivação limpa: use
, então
e
. Logo
E
Voltando para
:
e
. Como
e
, tem-se
. Portanto
Passo 7
Agora juntamos todas as partes:
- Da parte
obtivemos . - Da parte
obtivemos . - Da parte
obtivemos .
Some tudo:
Passo 8
Volte à variável original
usando
. Lembre que
. Substituindo: