1. \int \frac{x^{3}+2 x^{2}+3 x-2}{\left(x^{2}+2 x+2\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (integral indefinida)
\int \frac{x^{3}+2 x^{2}+3 x-2}{\left(x^{2}+2 x+2\right)^{2}}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é uma função racional com denominador \left(x^{2}+2x+2\right)^{2}.
  • Deve-se encontrar uma antiderivada (somar constante de integração no final).

Passo 2

Primeira ideia prática: simplificar a expressão quadrática completando o quadrado. Note que
x^{2}+2x+2=(x+1)^{2}+1.
Fazemos a substituição t=x+1. Assim x=t-1 e dx=dt. Reescrevendo numerador em t:
Calcule x^{3}+2x^{2}+3x-2 com x=t-1:
\begin{aligned} x^{3} &= (t-1)^{3}=t^{3}-3t^{2}+3t-1,\\\ x^{2} &= t^{2}-2t+1,\\\ x &= t-1. \end{aligned}
Então
\begin{aligned} x^{3}+2x^{2}+3x-2 &= (t^{3}-3t^{2}+3t-1)+2(t^{2}-2t+1)+3(t-1)-2\\\ &= t^{3}-t^{2}+2t-4. \end{aligned}
O denominador fica (t^{2}+1)^{2}. Portanto a integral torna-se
\int \frac{t^{3}-t^{2}+2t-4}{(t^{2}+1)^{2}}\,dt.

Passo 3

Vamos decompor em frações parciais adequadas para denominador (t^{2}+1)^{2}. A forma geral é
\frac{t^{3}-t^{2}+2t-4}{(t^{2}+1)^{2}}=\frac{At+B}{t^{2}+1}+\frac{Ct+D}{(t^{2}+1)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por (t^{2}+1)^{2} obtemos
t^{3}-t^{2}+2t-4=(At+B)(t^{2}+1)+(Ct+D).
Expanda o lado direito:
(At+B)(t^{2}+1)+Ct+D = A t^{3}+B t^{2}+(A+C)t+(B+D).
Compare coeficientes com o polinômio à esquerda:
  • Coeficiente de t^{3}: A=1.
  • Coeficiente de t^{2}: B=-1.
  • Coeficiente de t: A+C=2 \Rightarrow 1+C=2 \Rightarrow C=1.
  • Termo constante: B+D=-4 \Rightarrow -1+D=-4 \Rightarrow D=-3.
Logo a decomposição é
\frac{t^{3}-t^{2}+2t-4}{(t^{2}+1)^{2}}=\frac{t-1}{t^{2}+1}+\frac{t-3}{(t^{2}+1)^{2}}.

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int \frac{t-1}{t^{2}+1}\,dt=\int\frac{t}{t^{2}+1}\,dt-\int\frac{1}{t^{2}+1}\,dt.
  • Para \displaystyle\int\frac{t}{t^{2}+1}\,dt use u=t^{2}+1, du=2t\,dt, logo \displaystyle\int\frac{t}{t^{2}+1}\,dt=\frac{1}{2}\ln(t^{2}+1).
  • Para \displaystyle\int\frac{1}{t^{2}+1}\,dt=\arctan t.
Portanto
\int \frac{t-1}{t^{2}+1}\,dt=\frac{1}{2}\ln(t^{2}+1)-\arctan t.

Passo 5

Agora \displaystyle\int\frac{t-3}{(t^{2}+1)^{2}}\,dt separa-se em
\int\frac{t}{(t^{2}+1)^{2}}\,dt-3\int\frac{1}{(t^{2}+1)^{2}}\,dt.
Para \displaystyle\int\frac{t}{(t^{2}+1)^{2}}\,dt faça u=t^{2}+1, du=2t\,dt. Assim
\int\frac{t}{(t^{2}+1)^{2}}\,dt=\frac{1}{2}\int u^{-2}\,du=-\frac{1}{2}\frac{1}{u}=-\frac{1}{2(t^{2}+1)}.

Passo 6

Falta \displaystyle\int\frac{1}{(t^{2}+1)^{2}}\,dt. Uma derivação limpa: use t=\tan\theta, então dt=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta e t^{2}+1=\operatorname{sec}^{2}\theta. Logo
\int\frac{1}{(t^{2}+1)^{2}}\,dt=\int\frac{\operatorname{sec}^{2}\theta}{\operatorname{sec}^{4}\theta}\,d\theta=\int\cos^{2}\theta\,d\theta.
E
\int\cos^{2}\theta\,d\theta=\int\frac{1+\cos 2\theta}{2}\,d\theta=\frac{1}{2}\theta+\frac{1}{4}\sin 2\theta + C.
Voltando para t: \theta=\arctan t e \sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta. Como \sin\theta=\dfrac{t}{\sqrt{t^{2}+1}} e \cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{t^{2}+1}}, tem-se \sin 2\theta=\dfrac{2t}{t^{2}+1}. Portanto
\int\frac{1}{(t^{2}+1)^{2}}\,dt=\frac{1}{2}\arctan t+\frac{1}{2}\cdot\frac{t}{t^{2}+1}+C=\frac{1}{2}\Big(\arctan t+\frac{t}{t^{2}+1}\Big)+C.

Passo 7

Agora juntamos todas as partes:
  • Da parte \dfrac{t-1}{t^{2}+1} obtivemos \displaystyle \frac{1}{2}\ln(t^{2}+1)-\arctan t.
  • Da parte \dfrac{t}{(t^{2}+1)^{2}} obtivemos \displaystyle -\frac{1}{2(t^{2}+1)}.
  • Da parte -3\cdot\dfrac{1}{(t^{2}+1)^{2}} obtivemos -\dfrac{3}{2}\Big(\arctan t+\dfrac{t}{t^{2}+1}\Big).
Some tudo:
\begin{aligned} \int \frac{t^{3}-t^{2}+2t-4}{(t^{2}+1)^{2}}\,dt &=\frac{1}{2}\ln(t^{2}+1)-\arctan t -\frac{1}{2(t^{2}+1)} -\frac{3}{2}\arctan t -\frac{3}{2}\cdot\frac{t}{t^{2}+1}+C\\[4pt] &=\frac{1}{2}\ln(t^{2}+1)-\frac{5}{2}\arctan t -\frac{1+3t}{2(t^{2}+1)}+C. \end{aligned}]

Passo 8

Volte à variável original x usando t=x+1. Lembre que t^{2}+1=x^{2}+2x+2. Substituindo:
\int \frac{x^{3}+2 x^{2}+3 x-2}{\left(x^{2}+2 x+2\right)^{2}}\,dx =\frac{1}{2}\ln\!\big(x^{2}+2x+2\big)-\frac{5}{2}\arctan\!(x+1)-\frac{3x+4}{2\big(x^{2}+2x+2\big)}+C.

Resposta

\frac{1}{2}\ln\!\big(x^{2}+2x+2\big)-\frac{5}{2}\arctan\!(x+1)-\frac{3x+4}{2\big(x^{2}+2x+2\big)}+C

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