É uma integral indefinida (procura-se uma primitiva).
A função integrada é uma função racional com denominador x (linear) e \left(x^{2}+4\right)^{2} (quadrática repetida).
Não há outros dados ou condições.
Passo 2
Escolha do método (explicação didática curta): como a integranda é uma função racional cujo grau do numerador (0) é menor que o do denominador, um método padrão e eficaz é decompor por frações parciais. Isso transforma a integral em somas de integrais mais simples (logaritmos e substituições do tipo u=x^{2}+4), que são fáceis de calcular na prova sem calculadora.
Passo 3
Forma geral da decomposição por frações parciais (quando há um fator linear simples x e um fator quadrático repetido \left(x^{2}+4\right)^{2}). Escreve-se:
onde A,B,C,D,E são constantes a determinar. Aqui a forma segue a regra: para cada fator linear coloca-se termo A/x; para cada fator quadrático irreduzível coloca-se um numerador linear; se o fator é repetido, inclui-se termos para cada potência até a repetição.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por x\left(x^{2}+4\right)^{2} obtemos a identidade polinomial
1 = (A+B) x^{4} + C x^{3} + (8A+4B+D) x^{2} + (4C+E) x + 16A.
Como a igualdade vale para todo x, os coeficientes das potências de x devem coincidir com os coeficientes do polinômio constante 1, isto é, coeficientes para x^{4},x^{3},x^{2},x devem ser zero, e o termo constante deve ser 1. Assim obtemos o sistema:
\begin{cases} A + B = 0,\\[4pt] C = 0,\\[4pt] 8A + 4B + D = 0,\\[4pt] 4C + E = 0,\\[4pt] 16A = 1. \end{cases}]