1. \int \frac{d x}{x\left(x^{2}+4\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{x\left(x^{2}+4\right)^{2}}.
Informações dadas:
  • É uma integral indefinida (procura-se uma primitiva).
  • A função integrada é uma função racional com denominador x (linear) e \left(x^{2}+4\right)^{2} (quadrática repetida).
  • Não há outros dados ou condições.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática curta): como a integranda é uma função racional cujo grau do numerador ( 0) é menor que o do denominador, um método padrão e eficaz é decompor por frações parciais. Isso transforma a integral em somas de integrais mais simples (logaritmos e substituições do tipo u=x^{2}+4), que são fáceis de calcular na prova sem calculadora.

Passo 3

Forma geral da decomposição por frações parciais (quando há um fator linear simples x e um fator quadrático repetido \left(x^{2}+4\right)^{2}). Escreve-se:
\frac{1}{x\left(x^{2}+4\right)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+4}+\frac{Dx+E}{\left(x^{2}+4\right)^{2}},
onde A,B,C,D,E são constantes a determinar. Aqui a forma segue a regra: para cada fator linear coloca-se termo A/x; para cada fator quadrático irreduzível coloca-se um numerador linear; se o fator é repetido, inclui-se termos para cada potência até a repetição.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por x\left(x^{2}+4\right)^{2} obtemos a identidade polinomial
1 = A\left(x^{2}+4\right)^{2} + (Bx+C)\,x\,(x^{2}+4) + (Dx+E)\,x.
Vamos expandir termo a termo e agrupar por potências de x.
Primeiro:
\left(x^{2}+4\right)^{2}=x^{4}+8x^{2}+16,
então
A\left(x^{2}+4\right)^{2}=A x^{4}+8A x^{2}+16A.
Segundo:
(Bx+C)\,x\,(x^{2}+4)=(Bx+C)(x^{3}+4x)=B x^{4}+C x^{3}+4B x^{2}+4C x.
Terceiro:
(Dx+E)\,x = D x^{2}+E x.
Somando tudo:
1 = (A+B) x^{4} + C x^{3} + (8A+4B+D) x^{2} + (4C+E) x + 16A.
Como a igualdade vale para todo x, os coeficientes das potências de x devem coincidir com os coeficientes do polinômio constante 1, isto é, coeficientes para x^{4},x^{3},x^{2},x devem ser zero, e o termo constante deve ser 1. Assim obtemos o sistema:
\begin{cases} A + B = 0,\\[4pt] C = 0,\\[4pt] 8A + 4B + D = 0,\\[4pt] 4C + E = 0,\\[4pt] 16A = 1. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema:
  • De 16A=1 segue A=\dfrac{1}{16}.
  • De A+B=0 segue B=-A=-\dfrac{1}{16}.
  • De C=0 segue C=0.
  • De 4C+E=0 com C=0 segue E=0.
  • De 8A+4B+D=0 substituindo A e B:
8\cdot\frac{1}{16}+4\cdot\left(-\frac{1}{16}\right)+D=0
\frac{8}{16}-\frac{4}{16}+D=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{4}{16}+D=0 \quad\Rightarrow\quad D=-\frac{1}{4}.
Portanto as constantes são
A=\frac{1}{16},\qquad B=-\frac{1}{16},\qquad C=0,\qquad D=-\frac{1}{4},\qquad E=0.

Passo 6

Reescrevendo a integranda com essas constantes:
\frac{1}{x\left(x^{2}+4\right)^{2}} =\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{x} -\frac{1}{16}\cdot\frac{x}{x^{2}+4} -\frac{1}{4}\cdot\frac{x}{\left(x^{2}+4\right)^{2}}.
Agora integramos termo a termo.
  1. Para o primeiro termo:
\int \frac{1}{16}\cdot\frac{1}{x}\,dx=\frac{1}{16}\ln|x|.
Explicação: \int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.
  1. Para o segundo termo:
\int -\frac{1}{16}\cdot\frac{x}{x^{2}+4}\,dx.
Fazemos a substituição \,u=x^{2}+4, então du=2x\,dx ou x\,dx=\dfrac{du}{2}. Assim
\int \frac{x}{x^{2}+4}\,dx=\frac{1}{2}\int \frac{du}{u}=\frac{1}{2}\ln u=\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+4\right).
Multiplicando pelo coeficiente -\dfrac{1}{16}
-\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+4\right)=-\frac{1}{32}\ln\left(x^{2}+4\right).
  1. Para o terceiro termo:
\int -\frac{1}{4}\cdot\frac{x}{\left(x^{2}+4\right)^{2}}\,dx.
Usamos a mesma substituição u=x^{2}+4, com x\,dx=\dfrac{du}{2}. Então
\int \frac{x}{\left(x^{2}+4\right)^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int u^{-2}\,du = \frac{1}{2}\left(-u^{-1}\right) = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{u} = -\frac{1}{2(x^{2}+4)}.
Multiplicando por -\dfrac{1}{4} resulta
-\frac{1}{4}\cdot\left(-\frac{1}{2(x^{2}+4)}\right) = \frac{1}{8(x^{2}+4)}.

Passo 7

Somando as primitivas dos três termos obtemos a primitiva geral:
\frac{1}{16}\ln|x|-\frac{1}{32}\ln\left(x^{2}+4\right)+\frac{1}{8(x^{2}+4)}+C,
onde C é a constante de integração.
Se quiser, pode-se combinar os logaritmos:
\frac{1}{32}\left(2\ln|x|-\ln\left(x^{2}+4\right)\right)=\frac{1}{32}\ln\!\left(\frac{x^{2}}{x^{2}+4}\right),
mas a forma anterior já está clara e adequada para a prova.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{16}\ln|x|-\frac{1}{32}\ln\left(x^{2}+4\right)+\frac{1}{8(x^{2}+4)}+C

Exercícios relacionados